소수의 역수의 합의 발산성

틀:위키데이터 속성 추적 기원전 3세기경에 유클리드는 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하였다. 18세기에 레온하르트 오일러가 소수의 역수의 합이 발산한다는 좀 더 강력한 정리를 증명하였다. 다시 말해서,

$\sum _{p\text{ prime }}\frac{1}{p}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\cdots =\mathrm{\infty }.$

현재 다음과 같은 사실도 알려져 있다.

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\text{ prime }}{p\le n}}\frac{1}{p}\ge \ln \ln (n+1)-\ln \frac{{\pi }^2}{6}$

조화급수

먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots .$

오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}=\prod _p(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots ).$

여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다.

증명법

첫 번째 증명

오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 $\ln (1-x)$의 테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다.

$\begin{array}{cc}\ln \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\right)& =\ln \left(\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p\ln \left(\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p-\ln (1-p^{-1})\\ & =\sum _p(\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots )=\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\sum _p\frac{1}{p^2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+\cdots )\\ & <\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\sum _p\frac{1}{p^2}(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots )=\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\left(\sum _p\frac{1}{p(p-1)}\right)\\ & =\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+C\end{array}$

마지막 등식의 $C$는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 $\ln \ln n$에 근접함을 알 수 있다.

두 번째 증명

$n$ 번째 소수를 $p_n$라 쓰기로 하자. 수렴한다고 가정해서 모순을 이끌어 낸다. 만약 수렴한다면, 무한급수에서 적당히 앞부분을 잘라 나머지 부분이 1/2 보다 작게 만들 수 있다. 즉, 다음 부등식을 만족하는 어떤 $k$가 있다.

$\sum _{m=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_m}<\frac{1}{2}$

그 잘라낸 소수들을 모두 곱한 값을 $Q$라고 해 보자. 즉, $Q=p_1\cdots p_k$라 하면, 모든 자연수 $n$에 대해 $1+nQ$는 $p_1$부터 $p_k$까지 어느 소수로도 나누어떨어지지 않는다. 따라서 $n$의 값에 관계 없이 $1+nQ$의 모든 소인수는 $p_{k+1}$ 이후의 소수들이 된다.

그리하여 모든 1보다 큰 $r$에서 다음 부등식이 성립한다.

$\sum _{n=1}^r\frac{1}{1+nQ}\le \sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\sum _{m=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_m}\right)}^t<\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^t$

두 번째 부등식은 가정에 의해 성립한다. 첫 번째 부등식은 $1+nQ$의 소인수가 모두 $p_{k+1}$이후의 소수이므로 우변을 전개하면 좌변의 모든 항이 들어있게 된다. 그런데 좌변은 적분판정법으로 발산함을 알 수 있고 우변은 무한등비급수이므로 수렴한다. 따라서 모순이 된다.

같이 보기

• 유클리드의 정리