말리아뱅 미분

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서, 말리아뱅 미분(Malliavin微分, 틀:Llang)은 위너 공간 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다.틀:Rp 말리아뱅 미분은 바나흐 공간의 프레셰 미분과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 힐베르트 공간의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 에르미트 수반은 스코로호드 적분(Скороход積分, 틀:Llang)이라고 하며, 이는 이토 적분의 일반화이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 위너 공간 $(E,H,\mu )$
• 연속 함수 $f:E\to ℝ$
• 원소 $x\in E$
• 원소 $y\in H$

그렇다면, 만약 다음 조건이 성립한다면, $F$가 $x$에서 말리아뱅 미분 가능하다고 하며, $F$의 $x$에서의 말리아뱅 미분이 $y$라고 한다.틀:Rp

힐베르트 내적 위상에서 0으로 수렴하는 임의의 열 $(z_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\to 0$에 대하여 ($z_i\ne 0\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}$),

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x+z_i)-f(x)-⟨y,z_i{⟩}_H}{\sqrt{⟨z_i,z_i⟩}}\to 0$

이를

$y={\mathrm{D}}_{x}f$

로 표기한다.

성질

말리아뱅 미분은 다음과 같은 꼴의 비(非)유계 연산자를 이룬다.

$\mathrm{D}:(\mathrm{dom}D\subseteq {\mathrm{L}}^2(W,\mu ;ℝ))\to {\mathrm{L}}^2(W,\mu ;H)$

$\mathrm{D}:f\mapsto (x\mapsto {\mathrm{D}}_{x}f\in H)$

여기서, 말리아뱅 미분의 정의역

$\mathrm{dom}\mathrm{D}\subseteq {\mathrm{L}}^2(W,\mu ;ℝ)$

은 힐베르트 공간 ${\mathrm{L}}^2(W,\mu ;ℝ)$의 조밀 집합인 부분 벡터 공간이다. 또한, 이는 닫힌 작용소이다. 즉, 그 그래프

$\mathrm{graph}\mathrm{D}=\{(f,\mathrm{D}f):fin\mathrm{dom}\mathrm{D}\subseteq {\mathrm{L}}^2(W,\mu ;ℝ))\oplus {\mathrm{L}}^2(W;H)$

는 ${\mathrm{L}}^2(W,\mu ;ℝ))\oplus {\mathrm{L}}^2(W;H)$ 속의 닫힌집합이다.

스코로호드 적분

말리아뱅 미분은 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소이므로, 말리아뱅 미분의 에르미트 수반

$\delta :(\mathrm{im}\mathrm{D}\subseteq {\mathrm{L}}^2(W,\mu ;H))\to {\mathrm{L}}^2(W,\mu ;ℝ)$

를 정의할 수 있으며, 이 역시 조밀 집합 위에 정의된 닫힌 작용소이다. 이를 스코로호드 적분이라고 한다.

이토 적분은 스코로호드 적분의 특수한 경우이다.

역사

말리아뱅 적분은 프랑스의 수학자 폴 말리아뱅(틀:Llang, 틀:IPA2)이 도입하였다. 스코로호드 적분은 아나톨리 볼로디미로비치 스코로호드(틀:Llang, 틀:Llang, 1930〜2011)가 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
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