뤼카 수열

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 뤼카 수열(틀:Llang)은 주어진 두 정수에 의존하는, 일차 점화식으로 정의되는 수열이다.

정의

두 정수 $P,Q$에 대한 제1종 뤼카 수열(틀:Llang $U_n(P,Q)$은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.

$U_0(P,Q)=0$

$U_1(P,Q)=1$

$U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)$

두 정수 $P,Q$에 대한 제2종 뤼카 수열(틀:Llang $V_n(P,Q)$은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.

$V_0(P,Q)=2$

$V_1(P,Q)=P$

$V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)$

성질

일반항

이차 방정식 $x^2-Px+Q$의 두 해를 각각

$\alpha =(P+\sqrt{P^2-4Q})/2$

$\beta =(P-\sqrt{P^2-4Q})/2$

라고 할 때, 뤼카 수열의 일반항은 각각 다음과 같다.

$U_n(P,Q)=({\alpha }^n-{\beta }^n)/(\alpha -\beta )$

$V_n(P,Q)={\alpha }^n+{\beta }^n$

생성 함수

뤼카 수열의 생성 함수는 각각 다음과 같다.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(P,Q)x^n=x/(1-Px+Q{x}^2)$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{V}_n(P,Q)x^n=(2-Px)/(1-Px+Q{x}^2)$

예

값

뤼카 수열의 처음 몇 항은 각각 다음과 같다.

$n$	$U_n(P,Q)$	$V_n(P,Q)$
0	0	2
1	1	$P$
2	P	$P^2-2Q$
3	$P^2-Q$	$P(P^2-3Q)$
4	$P(P^2-2Q)$	$P^4-4Q{P}^2+2Q^2$
5	$P^4-3Q{P}^2+Q^2$	$P(P^4-5Q{P}^2+5Q^2)$
6	$P(P^2-3Q)(P^2-Q)$	$(P^2-2Q)(P^4-4Q{P}^2+Q^2)$
7	$P^6-5Q{P}^4+6Q^2{P}^2-Q^3$	$P(P^6-7Q{P}^4+14Q^2{P}^2-7Q^3)$
8	$P(P^2-2Q)(P^4-4Q{P}^2+2Q^2)$	$P^8-8Q{P}^5+20Q^2{P}^4-16Q^3{P}^2+2Q^4$
9	$(P^2-Q)(P^6-6Q{P}^4+9Q^2{P}^2-Q^3)$	$P(P^2-3Q)(P^6-6Q{P}^4+9Q^2{P}^2-3Q^3$
10	$P(P^4-3Q{P}^2+Q^2)(P^4-5Q{P}^2+5Q^2)$	$(P^2-2Q)(P^8-8Q{P}^6+19Q^2{P}^4-12Q^3{P}^2+Q^4)$

특수한 경우

뤼카 수열의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

$P$	$Q$	$U_n(P,Q)$		$V_n(P,Q)$
		이름	OEIS	이름	OEIS
-1	3	-	틀:OEIS2C	-	-
1	-2	야콥스탈 수	틀:OEIS2C	야콥스탈-뤼카 수	틀:OEIS2C
1	-1	피보나치 수	틀:OEIS2C	뤼카 수	틀:OEIS2C
1	1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
1	2	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
2	-1	펠 수	틀:OEIS2C	펠-뤼카 수	틀:OEIS2C
2	1	-	틀:OEIS2C	-	-
2	2	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
2	3	-	틀:OEIS2C	-	-
2	4	-	틀:OEIS2C	-	-
2	5	-	틀:OEIS2C	-	-
3	-5	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
3	-4	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
3	-3	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
3	-2	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
3	-1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
3	1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
3	2	메르센 수	틀:OEIS2C	$2^n+1$	틀:OEIS2C
3	5	-	틀:OEIS2C	-	-
4	-3	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
4	-2	-	틀:OEIS2C	-	-
4	-1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
4	1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
4	2	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
4	3	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
4	4	-	틀:OEIS2C	-	-
5	-3	-	틀:OEIS2C	-	-
5	-2	-	틀:OEIS2C	-	-
5	-1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
5	1	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
5	4	-	틀:OEIS2C	-	틀:OEIS2C
$x$	-1	피보나치 다항식	-	뤼카 다항식	-
$2x$	1	제2종 체비쇼프 다항식	-	제1종 체비쇼프 다항식의 2배	-
$x+1$	$x$	$x$를 밑으로 하는 렙유니트 수	-	$x^n+1$	-

역사

프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 따 명명되었다.

같이 보기

• 뤼카 수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드