레비 붕괴

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서, 레비 붕괴(לוי崩壞, 틀:Llang)는 강제법에서 특정한 두 기수 사이의 다른 기수들을 없애는 작용을 하는 부분 순서 집합이다.

정의

서로 다른 두 기수 $\lambda <\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ($\lambda ,\kappa )$-레비 붕괴 $\mathrm{Col}(\lambda ,\kappa )\subseteq \mathrm{Pfn}(\kappa \times \lambda ,\kappa ;\lambda )$는 다음과 같은, 부분 정의 함수 집합 $\mathrm{Pfn}(\kappa \times \lambda ,\kappa ;\lambda )$의 부분 집합이다.틀:Rp

$\mathrm{\forall }f\in \mathrm{Pfn}(\kappa \times \lambda ,\kappa ;\lambda ):(f\in \mathrm{Col}(\lambda ,\kappa )⟺\mathrm{\forall }(\alpha ,\beta )\in \kappa \times \lambda :f(\alpha ,\beta )<\alpha )$

성질

순서론적 성질

$\mathrm{Col}(\lambda ,\kappa )$는 $\kappa$-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 따라서, $\mathrm{Col}(\lambda ,\kappa )$에 대한 강제법은 $\kappa$ 이상의 기수들을 보존한다.

강제법적 성질

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$과 $X,Y\in M$ 및 무한 순서수 $\lambda ,\kappa \in M\cap \mathrm{Ord}$가 주어졌으며, $\lambda <\kappa$이며, $M$ 속에서 $\lambda$와 $\kappa$가 기수라고 하자.

$M\models (\lambda ,\kappa \in \mathrm{Card})$

또한, $G$가 $\mathrm{Col}(\lambda ,\kappa {)}^M$의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면, 강제법 모형 $M[G]$에서 다음이 성립한다.

$M[G]\models ({\lambda }^{+}=\kappa )$

여기서 $(-{)}^{+}$는 바로 다음 기수를 뜻한다 (${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{+}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$). 즉, $\lambda$와 $\kappa$ 사이의 기수들이 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

역사

아즈리엘 레비가 1963년에 도입하였다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:서적 인용