디리클레 지표

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 디리클레 지표(Dirichlet指標, 틀:Llang)는 수론적 함수의 하나다. 디리클레 L-함수를 정의하는 데 사용된다.

정의

군 $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}$는 $k$에 대하여 서로소인 $k$ 합동류들의 아벨 군이다. ${ℂ}^{*}=ℂ\setminus \{0\}$는 0이 아닌 복소수들의 곱셈에 대한 아벨 군이다. 이들 사이에 군 준동형

$\chi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$

이 주어졌다고 하자. 이러한 꼴의 군 준동형을 지표라고 한다. 이러한 지표 $\chi$를 수론적 함수 $\hat{\chi }:\mathbb{Z}\to ℂ$로 확장시킬 수 있다. 이 경우, $k$에 대하여 서로소가 아닌 합동류에 속하는 정수들에 대하여 $\hat{\chi }$의 값을 0으로 놓는다. 이렇게 하여 얻는 함수 $\hat{\chi }$를 디리클레 지표라고 한다.

이렇게 정의한 함수 $\hat{\chi }$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

1. (주기성) $\hat{\chi }(n)=\hat{\chi }(n+k)$
2. (서로소) $n$과 $k$가 서로소임은 $\hat{\chi }(n)\ne 0$과 동치이다.
3. (승법성) 모든 정수 $m,n\in \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$에 대하여, $\hat{\chi }(mn)=\hat{\chi }(m)\hat{\chi }(n)$

이 세 조건을 만족하는 함수는 항상 디리클레 지표임을 보일 수 있다.

디리클레 L-함수

모든 디리클레 지표 $\chi$에 대하여, 이에 대응하는 L-함수를 정의할 수 있다. 이를 디리클레 L-함수라고 하며, 다음과 같다.

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\chi (n)/n^s$

역사

페터 구스타프 르죈 디리클레가 디리클레 등차수열 정리를 증명하기 위하여 1831년에 도입하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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