디리클레 등차수열 정리

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 디리클레 등차수열 정리(Dirichlet等差數列定理, 틀:Llang)는 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다는 정리다.

정의

$a_{0}$ 와 $b$ 가 서로소인 양의 정수라고 하자. 디리클레 등차수열 정리에 따르면, 등차수열

(a_{n})_{n = 0}^{\infty} = (a_{0} + n b)_{n = 0}^{\infty} = (a_{0}, a_{0} + b, a_{0} + 2 b, \dots)

에는 무한히 많은 소수가 포함되어 있다. 즉, 무한히 많은 소수들을

a_{0} + n b

의 꼴로 나타낼 수 있다. 또한, 이 수열에 포함된 소수들의 역수들의 합은 발산한다.

\sum_{a_{0} + n b prime} 1 / (a_{0} + n b) = \infty

대표적인 등차수열에 포함된 소수들은 다음과 같다.

레온하르트 오일러는 1로 시작하는 모든 등차수열에 대하여 이 정리를 추측하였고, 아드리앵마리 르장드르가 이 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다.

페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년 이 정리를 증명하였다.^[1]^[2] 이를 증명하기 위하여 디리클레는 수론에 해석학적인 기법을 도입하였다. 이는 해석적 수론의 시초로 여겨진다.

1946년에 아틀레 셀베르그가 초등적인 증명을 발표하였다.^[3]