디랙 괄호

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 해밀턴 역학에서 디랙 괄호(틀:Llang)는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 계에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. 폴 디랙이 도입하였다.

정의

구속된 해밀턴 계

해밀턴 계 $(M,\omega ,H)$가 주어졌다고 하자. 여기서 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$는 계의 위상 공간이고, $H$는 계의 해밀토니언이다. $M$ 위의 매끄러운 함수들의 대수를 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$이라고 하자. 심플렉틱 구조에 의하여, 푸아송 괄호

$\{f,g\}=({\omega }^{-1}{)}^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }f{\partial }_{\nu }g$

가 존재한다.

이 계 위에 주어진 구속(틀:Llang) $\mathrm{\Phi }\subset {𝒞}^{\mathrm{\infty }}$는 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 함수들의 집합이다.

• $\mathrm{\Phi }$는 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$의 아이디얼이자, ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$에 대한 자유 가군이다. 즉,
  • 임의의 함수 $f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$ 및 제약 $\varphi \in \mathrm{\Phi }$에 대하여, $f{\varphi }^i\in \mathrm{\Phi }$이다.
  • 임의의 $\varphi ,{\varphi }^{\prime }\in \mathrm{\Phi }$에 대하여, $\varphi +{\varphi }^{\prime }\in \mathrm{\Phi }$이다.
  • $\mathrm{\Phi }$의 기저 $\{{\varphi }^i{\}}_{i\in I}\subset \mathrm{\Phi }$가 존재한다. 즉, 임의의 $\varphi \in \mathrm{\Phi }$를 $\varphi =u_i{\varphi }^i$ ($u_i\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• (일관성) 쌍대가군 ${\mathrm{\Phi }}^{*}=\mathrm{hom}(\mathrm{\Phi },{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M))$의 원소 $u\in {\mathrm{\Phi }}^{*}$가 존재하여, 다음을 만족시킨다.$(\{\varphi ,H\}+u_i\{\varphi ,{\varphi }^i\}){|}_{\tilde{M}}=0\mathrm{\forall }\varphi \in \mathrm{\Phi }$

여기서, $\tilde{M}$은 구속된 상태 공간 $\tilde{M}\subset M$으로, 다음과 같다.

$\tilde{M}=\{x\in M|{\varphi }^i(x)=0\mathrm{\forall }\varphi \in \mathrm{\Phi }\}$

즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.

1종 및 2종 구속

1종 구속(틀:Llang)의 집합 ${\mathrm{\Phi }}_1\subset \mathrm{\Phi }$은 다음과 같다.

${\mathrm{\Phi }}_1=\{{\varphi }_1\in \mathrm{\Phi }:\{{\varphi }_1,\mathrm{\Phi }\}{|}_{\tilde{M}}=0\}$

모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 해밀토니언과 가환한다.

$\{{\mathrm{\Phi }}_1,H\}=0$

또한, 1종 구속들의 집합 ${\mathrm{\Phi }}_1$ 역시 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$의 아이디얼이자, ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 $f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$와 1종 제약 ${\varphi }_1\in {\mathrm{\Phi }}_1$에 대하여, $f{\varphi }_1\in {\mathrm{\Phi }}_1$이다. 이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다. 짧은 완전열

$0\to {\mathrm{\Phi }}_1\hookrightarrow \mathrm{\Phi }\twoheadrightarrow {\mathrm{\Phi }}_2\to 0$

은 분할 완전열이며, 따라서 $\mathrm{\Phi }$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathrm{\Phi }\cong {\mathrm{\Phi }}_1\oplus {\mathrm{\Phi }}_2$

물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. ${\mathrm{\Phi }}_2\cong \mathrm{\Phi }/{\mathrm{\Phi }}_1$을 2종 구속(틀:Llang)들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 자유 가군의 부분가군이므로 사영 가군(벡터다발)이다.

디랙 괄호

2차 구속 ${\mathrm{\Phi }}_2$의 기저를 $\{{\varphi }_2^i{\}}_{i\in I}$로 잡자. 그렇다면 행렬 $C_{ij}$를 다음과 같이 정의하자.

$\{{\varphi }_2^i,{\varphi }_2^j\}{C}_{jk}={\delta }_i^k$

이 경우, 디랙 괄호 $\{,{\}}_{\text{D}}$는 다음과 같다.

$\{f,g{\}}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,{\varphi }_2^i\}{C}_{ij}\{{\varphi }_2^j,g\}$

제약된 해밀턴 계 $(M,\omega ,H,\mathrm{\Phi })$에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 $f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$의 시간 변화 $\dot{f}$는 다음과 같다.

$\dot{f}=\{f,H{\}}_{\text{D}}$

이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다.

$\{\varphi ,H{\}}_{\text{D}}{|}_{\tilde{M}}=0\mathrm{\forall }\varphi \in \mathrm{\Phi }$

즉, 임의의 2종 구속 ${\varphi }_2^i$의 경우

$\{{\varphi }_2^i,H{\}}_{\text{D}}=0$

이고, 임의의 1종 구속 ${\varphi }_1^i$의 경우

$\{{\varphi }_1^i,H{\}}_{\text{D}}=\{{\varphi }_1^1,H\}=0$

이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, $\tilde{M}$에 국한하면 유일하다.

예

강한 자기장에서의 비가환 기하학

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위에, 전하 $q$의 입자가 자기장 $B_{\mu \nu }=B{\omega }_{\mu \nu }$와 위치 에너지 $V:M\to ℝ$에 영향을 받는다고 하자. 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 라그랑지언은 다음과 같다.

$L(x,\dot{x})=q{A}_{\mu }{\dot{x}}^{\mu }-V(x)$

여기서 $A_{\mu }$는 자기 퍼텐셜로,

$(dA{)}_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }=B{\omega }_{\mu \nu }$

를 만족시킨다. 편의상

$A_{\nu }=\frac{1}{2}B{x}^{\mu }{\omega }_{\mu \nu }$

으로 놓을 수 있다. 즉,

$L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}qB{x}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }{\omega }_{\mu \nu }-V(x)$

이다.

이 경우, 정준 운동량은 다음과 같다.

$p_{\nu }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\nu }}=\frac{1}{2}qB{x}^{\mu }{\omega }_{\mu \nu }$

즉, 해밀토니언은 다음과 같다.

$H=p_{\mu }{\dot{x}}^{\mu }-L=V(x)$

또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 $\dot{x}$, $\dot{y}$를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.

${\varphi }_{\nu }=p_{\nu }-\frac{1}{2}qB{x}^{\mu }{\omega }_{\mu \nu }=0$

이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.

$\{{\varphi }_{\mu },{\varphi }_{\nu }\}=qB{\omega }_{\mu \nu }$

이는 가역행렬이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.

$\{f,g{\}}_{\text{D}}=\{f,g\}+\frac{1}{qB}\{f,{\varphi }_{\mu }\}{\omega }^{\mu \nu }\{{\varphi }_{\nu },g\}$

특히,

$\{x^{\mu },x^{\mu }{\}}_{\text{D}}=-{\omega }^{\mu \nu }/(qB)$

이므로, 이를 양자화하면

$[x^{\mu },x^{\nu }]=-i\hslash {\omega }^{\mu \nu }/(qB)$

이다. 즉, 비가환 기하학을 얻는다.

이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 $M$ 자체가 사실상 위상 공간이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 $A_{\mu }$가 대역적으로(global) 존재하므로, 심플렉틱 구조 ${\omega }_{\mu \nu }$의 코호몰로지류 $[\omega ]\in H^2(M;ℝ)$가 0이다. 따라서, 기하학적 양자화를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 리만 계량 $g_{\mu \nu }$가 심플렉틱 구조 ${\omega }_{\mu \nu }$와 호환된다면, 이 구조는 (거의) 켈러 구조를 이뤄 기하학적 양자화가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 $V(x)$의 경우 순서가 모호하게 된다.

부분다양체에 구속된 입자

리만 다양체 $(M,g)$ 위에 존재하는, 질량 $m$의 입자가 위치 에너지 $V(𝐱)$의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 $C:M\to ℝ$의 영집합 $C^{-1}(0)\subset M$에 구속되었다고 하자. 이 경우, 임의의 $x\in M$에 대하여 다음과 같은 해밀토니언을 적을 수 있다.

$H=\frac{1}{2m}{g}^{\mu \nu }{p}_{\mu }{p}_{\nu }+V(x)$

물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.

${\varphi }^1=C(x)=0$

${\varphi }^2=g^{\mu \nu }{p}_{\mu }{\partial }_{\nu }C(x)=0$

이 경우,

$\{{\varphi }^1,{\varphi }^2\}=g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }C{\partial }_{\nu }C=(\partial C{)}^2$

이다. 따라서, 만약 $C^{-1}(0)$에서 $\partial C\ne 0$이라면, ${\varphi }^1$과 ${\varphi }^2$ 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, 음함수 정리에 의하여 $C^{-1}(0)$이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)

이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.

$\{f,g{\}}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C{)}^{-2}\{f,{\varphi }^i\}{ϵ}_{ij}\{{\varphi }^j,g\}$

예를 들어,

$\{x^{\mu },x^{\nu }{\}}_{\text{D}}=0$

$\{x^{\mu },p_{\nu }{\}}_{\text{D}}={\delta }_{\nu }^{\mu }-(\partial C{)}^{-2}{\partial }^{\mu }C{\partial }_{\nu }C$

$\{p_{\mu },p_{\nu }{\}}_{\text{D}}=(\partial C{)}^{-2}{p}^{\rho }(({\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\partial }_{\mu }C)({\partial }_{\nu }C)-({\partial }_{\mu }C)({\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\partial }_{\nu }C))$

가 된다.

같이 보기

• 해밀턴 역학
• 푸아송 괄호
• 라그랑지언

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용