등급 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 등급 다양체(等級多樣體, 틀:Llang)는 국소 자유 등급 가환 대수의 층을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

정의

등급 다양체는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 자연수 등급 대수의 층 $𝒜$. 이는 국소적으로 다음과 같은 꼴이어야 한다.

  $𝒜(U)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U)\otimes \mathrm{Sym}(V)(U\subseteq M)$

여기서 $V$는 어떤 양의 정수 등급 벡터 공간이며,

$\mathrm{Sym}(V)=ℝ\oplus V\oplus {\mathrm{Sym}}^2(V_{2\mathbb{N}})\oplus {\bigwedge }^2(V_{2\mathbb{N}+1})\oplus \cdots$

는 이로부터 생성되는 자유 등급 가환 대수이다.

일부 문헌에서 이는 N-다양체(틀:Llang)와 같은 이름으로 불리기도 한다.

등급 다양체의 범주를 $\mathrm{grDiff}$라고 표기하자.

성질

다음과 같은 망각 함자들이 존재한다.

$\mathrm{grDiff}\to \mathrm{superDiff}\to \mathrm{Diff}$

초다양체의 범주 $\mathrm{superDiff}$로 가는 망각 함자. 이는 $\mathbb{N}$ 등급을 $\mathbb{Z}/(2)$ 등급으로 잊은 것이다.

$\mathrm{grDiff}\to {\mathrm{grVect}}_{{\mathbb{Z}}^{+}}\to \mathrm{Vect}\to \mathrm{Diff}$

양의 정수 등급의 매끄러운 벡터 다발의 범주 ${\mathrm{Vect}}_{{\mathbb{Z}}^{+}}$로 가는 망각 함자. 이는 오직 등급 1의 성분만을 기억하는 것이다.

이 망각 함자 $\mathrm{grDiff}\to {\mathrm{grVect}}_{{\mathbb{Z}}^{+}}$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 왼쪽 수반 함자는 등급 벡터 다발에 대하여, 이로부터 생성되는 자유 등급 가환 대수를 구조층으로 갖는 등급 다양체를 대응시킨다.

같이 보기

• 세르-스완 정리
• 초다양체
• 초대칭

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab