둔각삼각형

둔각삼각형

기하학에서 둔각삼각형(鈍角三角形)은 한 각의 크기가 둔각, 즉 90도를 넘는 각인 삼각형을 말한다. 둔각삼각형에서 나머지 두 각의 합은 90도보다 작다. 둔각삼각형 중에서 두변의 길이가 같은 둔각삼각형을 둔각이등변삼각형이라고 부른다.

코사인법칙

둔각삼각형이 보여주는 제2코사인법칙

유클리드 원론 2권 법칙12에서 $,\overline{AB}$에서 임의의 한점 $C$에 대해서 $\overline{AH}=\overline{CB}=\overline{BI}$이고, $\overline{AC}=\overline{EF}=\overline{EH}$이므로, $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}+2(\overline{AC}\cdot \overline{BC})$

따라서,

유클리드 원론 2권 법칙4 에서, 둔각삼각형 $\mathrm{△}ABC$에서$,\overline{BD}$의 임의의 한점 $C$에 대해서 $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BD}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CD}}+2(\overline{BC}\cdot \overline{CD})$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BD}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AD}}$ 그리고, $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CD}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AD}}$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CD}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AD}}$ 따라서, $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BD}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AD}}$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=(\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CD}}+2(\overline{BC}\cdot \overline{CD}))+(\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CD}})$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}+2(\overline{BC}\cdot \overline{CD})$

그리고

$cos(\pi -\alpha )=\frac{\overline{CD}}{\overline{AC}}$ $\overline{CD}=\overline{AC}cos(\pi -\alpha )$ $\overline{CD}=-\overline{AC}cos\alpha$ 따라서, $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}+2(\overline{BC}\cdot \overline{CD})$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}-2(\overline{BC}\cdot \overline{AC}cos\alpha )$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha$

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

같이 보기

• 삼각형
• 예각삼각형
• 직각삼각형
• 두 점 사이의 거리

외부 링크

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