두 점 사이의 거리

기하학에서 두 점 사이의 거리는 좌표평면에서 임의의 두 점 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$을 예약하고,

점 $P(x_1,y_1)$에서 $x$축에 평행하게 그은 직선과 점 $Q(x_2,y_2)$에서 $y$축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점 $O$을 예약할 수 있다.

두 점 $P,Q$ 사이의 거리를 $l$이라고 가정했을때,

$\mathrm{△}OPQ$는 $l$을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, $\overline{OP}=x_2-x_1,\overline{OQ}=y_2-y_1$이므로,

$l^2,l,\overline{OP},\overline{OQ}$은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.

$l^2={\overline{OP}}^2+{\overline{OQ}}^2$

$l^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

$l=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

따라서,

좌표평면에서 두 점 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$가 있을 때 두 점 사이의 거리 $l$은 다음과 같다.

$l=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

삼각함수의 덧셈정리

원과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고, 두 점 사이의 거리에서, $l=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$이므로, $P=(cos\alpha ,sin\alpha ),Q=(cos\beta ,sin\beta )$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=(cos\beta -cos\alpha {)}^2+(sin\beta -sin\alpha {)}^2$ $=((cos\beta -cos\alpha )\cdot (cos\beta -cos\alpha ))+((sin\beta -sin\alpha )\cdot (-sin\beta -sin\alpha ))$ $=((cos\beta {)}^2-2cos\alpha cos\beta +(cos\alpha {)}^2)+((sin\beta {)}^2-2sin\alpha sin\beta +(sin\alpha {)}^2)$ $=(cos\beta {)}^2+(cos\alpha {)}^2+(sin\beta {)}^2+(sin\alpha {)}^2-2cos\alpha cos\beta -2sin\alpha sin\beta$ $=(co{s}^2\beta +cos{\alpha }^2)+(si{n}^2\beta +si{n}^2\alpha )-2(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )$ 그리고 삼각 함수 항등식의 피타고라스 정리에서, ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 따라서, $=1+1-2(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )$ $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=2-2(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )$

한편,

이것은, 제2코사인법칙에서

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{OP}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{OQ}}-2(\overline{OP}\cdot \overline{OQ}cos(\alpha -\beta ))$

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=1^2+1^2-2(1\cdot 1cos(\alpha -\beta ))$

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=2-2\left(cos(\alpha -\beta )\right)$

그리고

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{PQ}}=2-2\left(cos(\alpha -\beta )\right)=2-2(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )$

$cos\left(\alpha -\beta \right)=(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )$

삼각함수의 덧셈정리이다.

같이 보기

• 거리공간
• 선분
• 제2코사인법칙
• 삼각함수
• 지리좌표 거리