예각삼각형

예각삼각형

기하학에서 예각삼각형(銳角三角形)은 세 각의 크기가 모두 90도보다 작은 각을 갖는 삼각형이다.

넓이

두 변과 끼인각의 크기를 알 때 ,

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

공식 유도

따라서, 밑변$b$ 높이$h$를 갖는 삼각형에서 삼각형의 넓이 공식 $S=\frac{1}{2}b\cdot h$를 예약하고, 선분 $\overline{AB}$ 와 선분 $\overline{AC}$의 사잇각(끼인각)을 $sinA$ 라고 했을때, $sinA=\frac{\text{높 이 }}{\text{빗 변 }}=\frac{h}{\overline{AB}}=\frac{h}{c}$ 따라서, $sinA=\frac{h}{c}$ $sinA\cdot c=h$ $S=\frac{1}{2}bsinAc$ $S=\frac{1}{2}bcsinA$

삼각함수의 덧셈정리

삼각형 $ABC$의 넓이 $\mathrm{△}ABC$는,

$\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}AHB+\mathrm{△}AHC$

$\mathrm{△}ABC=\frac{1}{2}bc\sin (\alpha +\beta )$

$\mathrm{△}AHB+\mathrm{△}AHC$

$=\frac{1}{2}\overline{BH}\overline{AH}+\frac{1}{2}\overline{CH}\overline{AH}$

$=\frac{1}{2}c\sin \alpha b\cos \beta +\frac{1}{2}b\sin \beta c\cos \alpha$

$=\frac{1}{2}cb(\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha )$

따라서,

$\frac{1}{2}bc\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}cb(\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha )$

$\sin (\alpha +\beta )=(\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha )$

코사인법칙

이것을 $cosine$에 대해 나타내보면,

$\overline{BC}=\overline{BH}+\overline{HC}$

$cosB=\frac{\overline{BH}}{c}$

$cosBc=\overline{BH}$

$cosC=\frac{\overline{HC}}{b}$

$cosCb=\overline{HC}$

따라서,

$\overline{BC}=\overline{BH}+\overline{HC}$

$a=cosBc+cosCb$

이것은, 코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

$a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C,c=a\cos B+b\cos A$

같이 보기

• 삼각형
• 둔각삼각형
• 직각삼각형
• 삼각함수
• 삼각함수의 덧셈정리