다항식의 나머지 정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:구별2 틀:구별2 대수학에서 (다항식) 나머지 정리((多項式)-定理, 틀:Llang) 또는 베주의 소정리(틀:Llang, 프랑스의 수학자인 에티엔 베주에서 이름을 따옴)^[1]는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 $f (x)$ 를 1차 다항식 $x - a$ 로 나눈 나머지가 $f (a)$ 라고 말한다.

나눗셈 정리의 따름정리이며 인수 정리를 특수한 경우로 포함한다. 후자에 따르면 $x - a$ 는 $f (a) = 0$ 인 경우에만 $f (x)$ 의 약수이다.^[2] 여러 개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리를 반복적으로 적용하여 인수분해 할 수 있다.^[3]

정의

틀:참고 가환환 $R$ 및 다항식 $f \in R [x]$ 및 $a \in R$ 가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 $f (x)$ 를 다항식 $x - a$ 로 나눈 나머지는 $f (a)$ 이다.

더 일반적으로, 환 $R$ 및 다항식 $f \in R [x]$ 및 환의 중심의 원소 $a \in Z (R)$ 가 주어졌다고 하자. 나머지 정리에 따르면, 다항식 $f (x)$ 를 다항식 $x - a$ 로 나눈 나머지는 $f (a)$ 이다.

틀:증명 $x - a$ 가 1차 일계수 다항식이므로, 다항식의 나눗셈 정리에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 $q \in R [x]$ 및 나머지 $r \in R$ 가 유일하게 존재한다.

f (x) = (x - a) q (x) + r

나머지 $r$ 가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 $r = 0$ 이거나

\deg r < \deg (x - a) = 1

이어야 하기 때문이다. 따라서

f (a) = (a - a) q (a) + r = 0 q (a) + r = r

이다. 틀:증명 끝 틀:증명 다음 등식을 $R [x]$ 위에서 보일 수 있다.

f (x) = f (x - a + a) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2} (x - a)^{2} + \dots + \frac{f^{(\max {\deg f, 0})} (a)}{n!} (x - a)^{\max {\deg f, 0}}

여기서

\frac{f^{(i)} (x)}{i!} = \sum_{k = i}^{\max {\deg f, 0}} (\binom{k}{i}) a_{k} x^{k - i} \in R [x]

는 $R$ 의 표수가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, $f$ 를 $x - a$ 로 나눈 나머지는 $f (a)$ 이다. 틀:증명 끝 틀:증명 $f (x) - f (a)$ 가 $x - a$ 의 배수임을 보이면 된다. $f (x) - f (a)$ 는

x^{i} - a^{i} = (x - a) (x^{i - 1} + x^{i - 2} a + \dots + x a^{i - 2} + a^{i - 1})

꼴의 다항식들의 $R$ -선형 결합이므로 $x - a$ 의 배수가 맞다. 틀:증명 끝

다항식 $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} - 42$ 에서 $x - 3$ 으로 나눈 몫과 나머지는 각각 $x^{2} - 9 x - 27$ 과 $- 123$ 이다. 따라서 $f (3) = - 123$ 이다.

나머지 정리에 따라, $f (a)$ 는 $f (x)$ 를 $x - a$ 로 나누는 조립제법을 통해 계산할 수 있다. 함수에의 대입은 직접 계산하는 것보다 조립제법을 사용하는 방법이 계산의 대가가 더 적다.

인수 정리는 나머지 정리에서 $f (a) = 0$ 인 특수한 경우이다.