꼬마 끈 이론

틀:위키데이터 속성 추적 끈 이론에서 꼬마 끈 이론(꼬마 끈理論, 틀:Llang, 약자 LST)은 NS5-막의 적절한 극한에서의 낮은 에너지 유효 이론이다. 이 이론에서는 끈이 존재하지만, 이 이론은 중력을 포함하지 않는다.

정의

II종 초끈 이론에서, $N$개의 평탄한 NS5-막이 같은 위치에 존재한다고 하자. 이는

$\mathrm{SO}(1,5)\times \mathrm{SO}(4)$

로런츠 대칭을 가지며, 16개의 초전하를 보존한다. 만약 IIA종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 6차원 $𝒩=(2,0)$ 초대칭을 가지며, IIB종 초끈 이론을 사용할 경우 이는 $𝒩=(1,1)$ 초대칭을 갖는다.

이제, NS5-막의 6차원 동역학을 10차원 초끈 이론으로부터 분리하기 위하여, 다음과 같은 극한을 취하자.

$g_{\text{s}}\to 0$

$E/m_{\text{s}}=O(1)$

즉, 끈 결합 상수를 0으로 보내고, 에너지 눈금 $E$를 끈의 장력에 고정시킨다.

이 극한에서 얻는 이론을 $𝒩=(2,0)$ 또는 $𝒩=(1,1)$ 꼬마 끈 이론이라고 한다.

성질

꼬마 끈 이론은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 국소적이지 않으며, 끈을 갖는다.
• T-이중성이 존재한다.
• 6차원 이하의 시공간 차원에 존재하며, 16개 이하의 초전하 (4차원 $𝒩=4$)를 갖는다.
• 끈 이론과 마찬가지로, 높은 에너지에서 하게도른 온도를 갖는다.
• 끈 이론과 달리, 중력을 포함하지 않는다.
• 끈 이론과 달리, 질량껍질 밖의 그린 함수가 존재한다.

비자유성

$N>1$ 꼬마 끈 이론은 자유 이론이 아니다. (반면 $N=1$일 경우 이는 자유 이론이다.)

예를 들어, IIB 초끈 이론의 $N$개의 NS5-막을 생각하자. S-이중성을 가하면, 이는 $N$개의 D5-막이 된다. 그 낮은 에너지 이론은 6차원 $𝒩=(1,1)$ $\mathrm{U}(N)$ 게이지 이론이며, 그 게이지 결합 상수 $g_{\text{D5}}$는 다음과 같다.

$g_{\text{D5}}^{-2}=\frac{m_{\text{s}}^2}{g_{\text{s}}}$

다시 S-이중성을 가하면,

$g_{\text{D5}}\mapsto g_{\text{NS5}}$

$g_{\text{s}}\mapsto 1/g_{\text{s}}$

$m_{\text{s}}\mapsto m_{\text{s}}/g_{\text{s}}$

이므로,

$g_{\text{NS5}}^{-2}=m_{\text{s}}^2$

이다. 따라서, $E\sim m_{\text{s}}$인 에너지 눈금에서 이 이론은 상호 작용을 갖게 된다. (엄밀히 말하면, 이 이론은 재규격화될 수 없으므로, $E\ll m_{\text{s}}$에서는 $g_{\text{NS5}}\to 0$이지만 $E\simeq m_{\text{s}}$에서는 게이지 이론 묘사가 더 이상 성립하지 못하지만, 이 경우 어쨌든 이론은 자유 이론일 수 없다.)

T-이중성

틀:본문 원 위에 축소화된 IIA종 초끈 이론과 원 위에 축소화된 IIB종 초끈 이론은 T-이중성에 따라 서로 동치이다. T-이중성 아래 IIA NS5-막은 IIB NS5-막에 대응된다. 즉, 하나의 차원을 축소화했을 때, T-이중성에 의하여 $𝒩=(2,0)$ 꼬마 끈 이론은 $𝒩=(1,1)$ 꼬마 끈 이론과 서로 동치이다.

상태 밀도

높은 에너지 $E$에서, 꼬마 끈 이론의 상태 밀도는 다음과 같은 꼴이다.

$\rho (E)\sim E^{\alpha }\exp ({\beta }_{\text{H}}E)(1+O(1/E))$

$S(E)=\ln \rho (E)={\beta }_{\text{H}}E+\alpha \ln (E/\mathrm{\Lambda })+O(1/E)$

여기서 ${\beta }_{\text{H}}$는 하게도른 온도이다.

AdS/CFT 대응성

틀:본문 꼬마 끈 이론에 홀로그래피적으로 대응되는 10차원 중력 이론은 다음과 같다.

II종 10차원 초중력에서, $N$개의 NS5-막에 해당하는 해는 (끈 틀 틀:Llang에서) 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }+(1+\frac{N{\alpha }^{\prime }}{r^2})\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}_i$

$\exp (2\mathrm{\Phi })=g_{\text{s}}^2(1+\frac{N{\alpha }^{\prime }}{r^2})$

$H_{ijk}=-{ϵ}_{ijkl}{\partial }^l\mathrm{\Phi }$

여기서

• $\mu ,\nu ,\dots \in \{0,1,\dots ,5\}$는 6차원 로런츠 좌표이며, $i,j,\dots \in \{6,7,8,9\}$는 NS5-막과 수직인 방향의 좌표이다.
• $r^2={\sum }_{i=6}^9(x^i{)}^2$이다.
• $\mathrm{d}{s}^2$는 계량 텐서이다.
• $\mathrm{\Phi }$는 딜라톤이다.
• $H$는 캘브-라몽 장 $B$의 장세기인 3차 미분 형식이다.
• ${\alpha }^{\prime }$는 끈 이론 레제 기울기이며, $g_{\text{s}}$는 끈 결합 상수이다.

이제, 꼬마 끈 이론을 얻으려면 $r/g_{\text{s}}=\exp \sigma$를 고정시키고 $r\to 0$을 취하면 된다. 그렇다면,

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}_{\mu }\mathrm{d}{x}^{\mu }+N{\alpha }^{\prime }(\mathrm{d}{\sigma }^2+\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}_3^2)$

$\mathrm{\Phi }=-\sigma$

이다. 이 배경은

${ℝ}^{1,5}\times ℝ\times {𝕊}^3$

에 해당한다. 여기서 둘째 성분 $ℝ$는 $\sigma$를 좌표로 하는 실수선이며 셋째 ${𝕊}^3$는 그 반지름이 $\sqrt{N{\alpha }^{\prime }}$인 3차원 초구이다.

여기서, 3차원 초구 성분은 레벨 $N$의 베스-추미노-위튼 모형에 해당한다.

이 밖에도, 이 이론은 10개의 자유 페르미온 ${\psi }^{\mu }$과 $ℝ\times {𝕊}^3$에 대응되는 4개의 페르미온을 갖는다.

즉, 이 배경의 II종 끈 이론의 끈 세계면 위의 2차원 등각 장론의 장들은 다음과 같다.

장	$\mathrm{SO}(1,5)$ 로런츠 표현	$\mathrm{SU}(2)$ 표현 (스핀)	총 중심 전하 $c$
${ℝ}^{1,5}$의 자유 보손 ${\varphi }^{\mu }$	벡터	0	1×6
${ℝ}^{1,5}$ 자유 페르미온 ${\psi }^{\mu }$	스피너	0	½×6
딜라톤 $\sigma$	스칼라	0	$1+6/N$
딜라티노 ${\psi }_{\sigma }$	스피너	0	½
SU(2) 베스-추미노-위튼 모형 스칼라장	0	1	$(N-2)/N$×3
베스-추미노-위튼 모형 페르미온	0	1	$(1/2+2/N)$×3

이에 따라, 비라소로 대수의 총 중심 전하는 다음과 같다.

$c=(1+1/2)\times 6+(1+1/2)+(\frac{N-2}{N}+\frac{1}{2}+\frac{2}{N})\times 3=15$

이는 예상대로 임계 차원 ($D=10$) 초끈 이론의 중심 전하와 같다.

즉, IIA/B종 꼬마 끈 이론은 이와 같은 굽은 배경에서의 10차원 II(A/B)종 끈 이론과 홀로그래피적으로 쌍대이다. AdS/CFT 대응성에서, 경계 이론(꼬마 끈 이론)의 질량껍질 밖 관측 가능량은 중력 이론(굽은 배경의 II종 끈 이론)의 질량껍질 위 관측 가능량에 대응한다. 즉, 꼬마 끈 이론의 질량껍질 밖 관측 가능량이 존재함을 알 수 있다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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