기약 공간

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학과 일반위상수학에서 기약 공간(旣約空間, 틀:Llang) 또는 초연결 공간(超連結空間, 틀:Llang)은 대수다양체의 자리스키 위상과 같이, 두 닫힌 진부분 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 기약 공간이라고 한다.

닫힌집합 $C, D \subseteq X$ 에 대하여, 만약 $C \cup D = X$ 이라면, $C = X$ 이거나 $D = X$ 이다.
임의의 두 열린집합 $U, V \subseteq X$ 에 대하여, 만약 $U \cap V = \emptyset$ 라면 $U = \emptyset$ 이거나 $V = \emptyset$ 이다.
모든 열린집합은 공집합이거나 아니면 조밀 집합이다.
닫힌집합 $C \subseteq X$ 의 내부가 $int C \neq \emptyset$ 이라면, $C = X$ 이다.

기약 스킴(旣約scheme, 틀:Llang)은 (자리스키) 위상 공간으로서 기약 공간인 스킴이다.

위상 공간 $X$ 의 기약 성분(旣約成分, 틀:Llang)은 포함 관계에 대하여 극대인 기약 부분 공간이다.

모든 기약 공간은 연결 공간이며, 국소 연결 공간이다. (그러나 경로 연결 공간이거나 국소 경로 연결 공간일 필요는 없다.)

두 개 이상의 점을 갖는 기약 공간은 하우스도르프 공간이 아니다. 따라서, 하우스도르프 공간의 기약 성분들은 한 점만을 갖는 부분 집합들이다.

기약 공간의 연속 함수에 대한 상은 기약 공간이다. 따라서, 기약 공간에서 하우스도르프 공간으로 가는 연속 함수는 상수 함수밖에 없다.

모든 대수다양체(즉, 기약 대수 집합)는 (자리스키 위상을 주었을 때) 정의에 따라 기약 공간을 이룬다. 예를 들어, 아핀 공간과 사영 공간은 기약 공간이다.

기약 스킴이 아닌 대수 집합으로는 (어떤 체 $K$ 에 대하여) $Spec K [x, y] / (x y)$ 를 들 수 있다. 이는 x축 $Spec K [x, y] / (x)$ 와 y축 $Spec K [x, y] / (y)$ 의 합집합이므로, 기약 공간이 아니다.