가능 공종도

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 가능 공종도(可能共終度, 틀:Llang, 약자 pcf)는 어떤 정칙 기수의 집합의 모든 가능한 초곱들의 공종도들의 집합이다.

정의

정칙 기수의 집합 $A$이 주어졌다고 하자. 각 기수는 순서수로, 즉 정렬 집합으로 여길 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 $⟨\le ⟩$은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, $A$를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, $A$의 임의의 극대 필터 $𝒰\subset 𝒫(A)$를 잡아 초곱 $\prod A/𝒰$을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.

정칙 기수의 집합 $A$의 가능 공종도 $\mathrm{pcf}A$는 $A$의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.

$\mathrm{pcf}A=\{\mathrm{cf}(\prod A/𝒰):𝒰\in \mathrm{Ultrafilter}(A)\}$

여기서 $\mathrm{Ultrafilter}(A)$는 $A$ 위의 극대 필터의 집합이다.

성질

임의의 정칙 기수의 집합 $A$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $\mathrm{pcf}(A)$는 정칙 기수의 집합이다.
• $A\subset \mathrm{pcf}(A)$이다.
  • 이는 주 필터인 극대 필터를 고려하여 알 수 있다.

만약 $|A|<\min A$라면, 다음이 성립한다.

• $|\mathrm{pcf}A|\le 2^{|A|}$틀:Rp
• $\max \mathrm{pcf}A$가 존재한다.틀:Rp
• $\mathrm{pcf}\mathrm{pcf}A=\mathrm{pcf}A$틀:Rp

정칙 기수의 집합 $A$와 $B$에 대하여,

$|A|<\min A$

$|B|<\min B$

$B\subset \mathrm{pcf}A$

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.틀:Rp

• $\mathrm{pcf}B\subset \mathrm{pcf}A$
• 임의의 $\kappa \in \mathrm{pcf}B$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 $C_{\kappa }\subset B$가 존재한다.
  • $|C|\le |A|$
  • $\kappa \in \mathrm{pcf}C$

역사

사하론 셸라흐가 1978년에 도입하였다.

응용

가능 공종도 이론을 사용하여, 기수의 기멜 함수의 다양한 상한을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 $\gimel :\kappa \mapsto {\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }$와 연속체 함수 $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(틀:Llang)에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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같이 보기

• 기멜 함수
• 특이 기수 가설