그람 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 다음은 그람 행렬에 관한 설명이다.

실수체에서 정의하는경우 , 그람 매트릭스(그람 행렬) G는 어떤 벡터 M 과 그들의 집합 V를 예약했을때, 이들의 내적 곱의 모든 경우의 행렬 표현이다. 즉,

G_(ij) = V_i^(T) V_j

□^(T)는 전치

그람 행렬식

그람 행렬식(Gram determinant)은 그람 행렬(Gram matrix)의 행렬식이다.

$G(x_1,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{cccc}⟨x_1,x_1⟩& ⟨x_1,x_2⟩& \dots & ⟨x_1,x_n⟩\\ ⟨x_2,x_1⟩& ⟨x_2,x_2⟩& \dots & ⟨x_2,x_n⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨x_n,x_1⟩& ⟨x_n,x_2⟩& \dots & ⟨x_n,x_n⟩\end{array}\right|$

그람 행렬식은 또한 벡터의 외적 대수로 표현될 수 있다.

$G(x_1,\dots ,x_n)=\Vert x_1\wedge \cdots \wedge x_n{\Vert }^2$

그램 행렬은 등거리변환에서 벡터 V_i를 결정한다.

정부호행렬 $M$에 대한 성질

복소수체에서 $n\times n$ 복소수 양의 정부호행렬 $M$에 대해 다음의 성질이 성립한다.

• 어떠한 선형 독립인 벡터 $x_1,\cdots ,x_n$가 존재할때, $M_{ij}=x_i^{*}{x}_j$가 성립한다면 $M$은 그람행렬이다.
• □^*는 켤레전치
• 고윳값이 모두 양수이다.

같이 보기

• 에르미트행렬
• 해밀턴 행렬
• 공분산행렬
• 궤도겹침행렬

참고

• 틀:Springer
• Volumes of parallelograms 틀:웹아카이브 by Frank Jones
• 매스월드