가우스 법칙

가우스 법칙은 적분 형태로 주어졌을 때, 대칭성에 따라 전기장이 균일한 닫힌 표면을 찾을 수 있는 경우에 특히 유용된다. 전기 선속은 그 표면적과 전기장의 세기의 곱으로 표현되며, 해당 표면에 포함된 총 전하에 비례한다. 여기서는 충전된 구체의 외부(r > R)와 내부(r < R)의 전기장을 계산한다.

내부에 전하가 있는 구에 대한 가우스 법칙

가우스 법칙(틀:Lang)은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 속의 알짜 전하량과 동일하다는 법칙이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다.

정의

가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 발산 정리에 대등하다.

가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

$\mathrm{\Phi }={\oint }_A𝐃\cdot d𝐀=Q_0$

여기서 $𝐃$는 변위장(전속밀도), $d𝐀$는 표면 A 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터), $Q_0$는 폐곡면 속의 알짜 자유 전하량이다. ${\oint }_A$는 표면 A전체에 대한 면적분이다.

가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃={\rho }_0$

여기서 $\mathrm{\nabla }\cdot$는 발산 연산자, $𝐃$는 변위장(전속밀도), ${\rho }_0$는 자유 전하 밀도다.

위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉, $Q_0$와 ${\rho }_0$는 매질 속의 분극 전하를 포함하지 않는다. 분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 공식은 다음과 같다.

$\mathrm{\Phi }={\oint }_A𝐄\cdot d𝐀=Q/{ϵ}_0$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\rho /{ϵ}_0$.

여기서 $Q$는 알짜 전하 (분극 전하 포함), $\rho$는 전하 밀도 (분극 전하 포함)다. $𝐄=𝐃/ϵ$는 전기장이다. ${ϵ}_0$는 진공의 유전율로, 기본 상수다.

적용

$E=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$ (전도체 표면, σ는 단위면적당 전하량이다.)

$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}$ (도선, λ은 단위길이당 전하량이고, r은 가우스 표면까지의 거리이다.)

$E=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$ (면)

$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}$ (구 껍질 또는 꽉찬 구에서, r≥R인 구의 표면)

$E=0$ (구 껍질에서, r<R인 구의 표면)

$E=(\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{R}^3})r$ (꽉찬 구에서, r≤R인 구의 단위면적당 전하)

역사

카를 프리드리히 가우스가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.

같이 보기

• 가우스 자기 법칙
• 맥스웰 방정식
• 발산 정리
• 카를 프리드리히 가우스