발산 정리

벡터 미적분학에서 발산 정리(發散定理, 틀:Llang) 또는 가우스 정리(Gauß定理, 틀:Llang)는 벡터 장의 선속이 그 발산의 삼중 적분과 같다는 정리이다.

정의

유계 영역의 폐포 $D\subseteq {ℝ}^n$의 외향 경계면 $\partial D$가 유한 개의 조각마다 매끄러운 단순 닫힌곡면들로 이루어졌다고 하자. (경계면이 하나의 닫힌곡면일 필요충분조건은 $D$가 축약 가능 공간임이다.) 또한, $𝐅:D\to {ℝ}^n$가 ${𝒞}^1$ 함수라고 하자. 그렇다면, 발산 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\oint }_{\partial D}𝐅\cdot d𝐒=\underset{D}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅dV$

여기서

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\cdots +\frac{\partial F_n}{\partial x_n}$

은 발산이다.

역사

발산정리의 증명을 가장 먼저 발표한 수학자는 미하일 오스트로그랏스키(틀:Llang)이다. 오스트로그랏스키는 부피적분을 표면적분으로 바꾸는 도구로서 발산정리를 이용했다. 카를 프리드리히 가우스 또한 중력이론에 대해 연구할 당시 이미 이 정리를 증명했다. 그의 결과는 수년간 출판되지 않았고, 이 정리는 종종 가우스의 이름이 붙기도 한다.

같이 보기

• 발산(Divergence)
• 그린 정리(Green's theorem)
• 스토크스 정리(Stokes' theorem)
• 그린 항등식

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki