가산 생성 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 가산 생성 공간(可算生成空間, 틀:Llang) 또는 가산 밀착 공간(可算密着空間, 틀:Llang)은 그 위상이 가산 부분 공간들에 의하여 결정되는 위상 공간이다. 이와 동치인 정의로서, 부분 집합의 폐포점이 항상 그 가산 부분 집합의 폐포점일 정도로 ‘지나치게 촘촘하지 않은’ 위상 공간이다.

정의

국소 가산 공간

위상 공간 $X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(x,X)$가 $x$의 근방의 최소 크기라고 하자.

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(x,X)=\underset{U\in {𝒩}_x}{\min }|U|$

위상 공간 $X$의 국소 크기(局所크기, 틀:Llang) $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(X)$는 모든 $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(x,X)$들의 상한이다.틀:Rp

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(X)=\underset{x\in X}{\sup }\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(x,X)$

국소 크기가 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 이하인 위상 공간을 국소 가산 공간이라고 한다. 즉, 국소 가산 공간은 모든 점이 가산 근방을 갖는 위상 공간이다.틀:Rp

가산 생성 공간

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 $x\in \mathrm{cl}A$에 대하여,

$\mathrm{tight}(x,A,X)={\min }_{B\subseteq A}^{x\in \mathrm{cl}B}|B|$

라고 하자.

위상 공간 $X$의 점 $x\in X$에서의 국소 밀착도(局所密着度, 틀:Llang) $\mathrm{tight}(x,X)$는 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{tight}(x,X)={\sup }_{A\subseteq X}^{x\in \mathrm{cl}A}\mathrm{tight}(x,A,X)$

위상 공간 $X$의 밀착도(密着度, 틀:Llang) $\mathrm{tight}(X)$는 국소 밀착도들의 상한이다.틀:Rp틀:Rp

$\mathrm{tight}(X)=\underset{x\in X}{\sup }\mathrm{tight}(x,X)$

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 가산 생성 공간이라고 한다.

• 밀착도가 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 이하이다.틀:Rp 즉, 임의의 $A\subseteq X$ 및 $x\in \mathrm{cl}A$에 대하여, $x\in \mathrm{cl}B$인 가산 부분 집합 $B\subseteq A$가 존재한다.
• 임의의 $U\subseteq X$에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 $A\subseteq X$에 대하여 $U\cap A$가 $A$의 열린집합이라면, $U$는 열린집합이다.
• 임의의 $F\subseteq X$에 대하여, 만약 임의의 가산 집합 $A\subseteq X$에 대하여 $F\cap A$가 $A$의 닫힌집합이라면, $F$는 닫힌집합이다.
• 국소 가산 공간의 몫공간이다.틀:Rp

성질

모든 점렬 공간은 가산 생성 공간이자 콤팩트 생성 공간이다. 모든 국소 가산 공간은 가산 생성 공간이다. 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 항상 점렬 공간인지 여부는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 구체적으로, 만약 고유 강제법 공리가 참이라면, 모든 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간은 점렬 공간이다.틀:Rp 반면 만약 다이아몬드 원리가 참이라면, 점렬 공간이 아닌 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.틀:Rp

가산 생성 공간의 범주는 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$의 쌍대 반사 부분 범주를 이룬다.

연산에 대한 닫힘

가산 생성 공간은 부분 공간과 몫공간에 대하여 닫혀 있지만, 연속 함수에 대한 상이나 곱공간에 대하여 닫혀 있지는 않다.

부분 공간

임의의 위상 공간 $X$ 및 그 부분 공간 $Y\subset X$에 대하여,

$\mathrm{tight}(Y)\le \mathrm{tight}(X)$

이다.틀:Rp 특히, 가산 생성 공간의 부분 공간은 항상 가산 생성 공간이다.

몫공간

임의의 위상 공간 $X$ 및 그 몫공간 $X/\sim$에 대하여,

$\mathrm{tight}(X/\sim )\le \mathrm{tight}(X)$

이다.틀:Rp 특히, 가산 생성 공간의 몫공간은 항상 가산 생성 공간이다.

연속 함수에 대한 상

가산 생성 공간의 연속적 상은 가산 생성 공간이 아닐 수 있다.틀:Rp 예를 들어, 이산 공간의 밀착도는 1이므로 가산 생성 공간이며, 비(非)린델뢰프 공간의 연속 함수 공간 위에 점별 수렴 위상을 부여하여 만든 공간은 비가산 생성 공간이다. 후자는 그 위상을 이산 위상으로 대체한 공간의 연속적 상이다.

곱공간

임의의 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $(X_i{)}_{i\in I}$의 곱공간의 밀착도는 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{tight}\left(\prod _{i\in I}{X}_i\right)=\max \{|\{i\in I:|X_i|\ge 2\}|,\underset{i\in I}{\sup }\mathrm{tight}(X_i)\}$

특히, 가산 개의 가산 생성 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 가산 생성 공간이다.

콤팩트 공간

기수 $\kappa$가 주어졌을 때, 위상 공간 $X$ 위의 길이 $\kappa$의 자유 점렬(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 그물 $(x_{\alpha }:\alpha <\kappa )\subset X$이다.

$\mathrm{cl}\{x_{\alpha }:\alpha <\beta \}\cap \mathrm{cl}\{x_{\alpha }:\beta \le \alpha <\kappa \}=\varnothing (\mathrm{\forall }\beta <\kappa )$

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$의 밀착도는 그 위의 자유 점렬들의 길이들의 상한과 같다.틀:Rp틀:Rp

예

점렬 공간이 아닌 가산 생성 공간

집합 $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ 위에 다음 집합들을 열린집합으로 하는 위상을 주자.

• 통상적인 열린집합 $U\subseteq \mathbb{Q}\cap [0,1]$
• 통상적인 0의 열린 근방 $U\ni 0$과, 통상적인 위상에서 0으로 수렴하는, 0이 아닌 수열 $(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subset \mathbb{Q}\cap (0,1]$에 대하여, $U\setminus \{x_0,x_1,x_2,\dots \}$

이는 (가산 공간이므로) 가산 생성 공간이지만, 점렬 공간이 아니다.틀:Rp 구체적으로, $\{0\}$은 점렬 열린집합이지만, 열린집합이 아니다.

함수 공간

티호노프 공간 $X$가 주어졌을 때, 점별 수렴 위상을 부여한 연속 함수 공간 ${𝒞}_{\mathrm{pw}}(X,ℝ)$의 밀착도는 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{tight}({𝒞}_{\mathrm{pw}}(X,ℝ))=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }L(X^n)$

여기서 $L$은 린델뢰프 수이다. 특히, 티호노프 공간 $X$에 대하여, ${𝒞}_{\mathrm{pw}}(X,ℝ)$가 가산 생성 공간인 것은 임의의 유한 번 곱공간 $X^n$이 린델뢰프 공간인 것과 동치이다.

외부 링크

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