꼬리 시그마 대수

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 꼬리 사건(꼬리事件, 틀:Llang)은 어떤 확률 변수들의 열이 주어졌을 때, 처음 유한 개의 변수들의 값들을 잊더라도 나머지 ‘꼬리’만으로 그 여부를 결정할 수 있는 사건이며, 꼬리 시그마 대수(꼬리σ代數, 틀:Llang)는 이러한 사건들로 구성된 시그마 대수이다. 콜모고로프 0-1 법칙(Колмогоров0-1法則, 틀:Llang)에 따르면, 모든 꼬리 사건들은 거의 확실하게 발생하거나 거의 확실하게 발생하지 못한다 (즉, 그 확률이 0 또는 1이다).

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$
• $ℱ$ 속의 부분 시그마 대수들의 가산 집합 $({ℱ}_i\subseteq ℱ{)}_{i\in I}$. (이는 유한 집합 또는 가산 무한 집합일 수 있다.)

또한, $({ℱ}_i{)}_{i\in I}$가 서로 독립이라고 하자. 즉, 임의의 유한 부분 집합 $J\subseteq I$에 대하여,

$\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{j\in J}{S}_j\right)=\prod _{j\in J}\mathrm{Pr}(S_j)(\mathrm{\forall }j\in J:S_j\in {ℱ}_j)$

이다.

이제, 가측 집합 $S\in ℱ$가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 꼬리 사건(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 유한 집합 $J\subseteq I$에 대하여, $S\in \sigma (\bigcup _{i\in I\setminus J}{ℱ}_i)$

꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를

$\tau ({ℱ}_i{)}_{i\in I}$

라고 하며, $({ℱ}_i{)}_{i\in I}$의 꼬리 시그마 대수라고 한다. 즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 확률 변수들(로 정의되는 시그마 대수)의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

성질

콜모고로프 0-1 법칙에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.

증명:

임의의 유한 부분 집합 $J\subseteq I$에 대하여, 꼬리 시그마 대수 $\tau$는

$\tau \subseteq \sigma (\bigcup _{i\in I\setminus J}{ℱ}_i)$

이므로, $\{\tau \}\cup \{{ℱ}_j{\}}_{j\in J}$는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,

$\{\tau \}\cup \{{ℱ}_i{\}}_{i\in I}$

는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히, $\tau$는

$\sigma \left(\bigcup _{i\in I}{ℱ}_i\right)$

와 독립이다. 그런데

$\tau \subseteq \sigma \left(\bigcup _{i\in I}{ℱ}_i\right)$

이다. 따라서, $\tau$는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소 $T\in \tau$에 대하여

$\mathrm{Pr}(T)=\mathrm{Pr}(T)\mathrm{Pr}(T)$

이며, $x^2=x$의 두 해는 0 및 1이다. 따라서, $\mathrm{Pr}(T)\in \{0,1\}$이다.

이 정리는 만약 $I$가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. (이 경우 $\tau$는 $\sigma (\underset{I\setminus I}{⨆}{ℱ}_i)=\sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,\mathrm{\Omega }\}$의 부분 시그마 대수이게 된다.)

같이 보기

• 보렐-칸텔리 보조정리
• 휴잇-새비지 0-1 법칙
• 긴 꼬리

외부 링크

• 틀:웹 인용