수축량

이 원환면 위에서, 수축 불가능 폐곡선 가운데 길이가 최소인 것은 붉게 표시된 폐곡선이며, 그 길이는 이 원환면이 수축량이다.

기하학에서, 수축량(收縮量, 틀:Llang)은 어떤 거리 공간에서, 상수 함수와 호모토픽하지 않는 폐곡선의 최소 길이이다.

정의

콤팩트 거리 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 속의 폐곡선

$\gamma :{𝕊}^1=[0,1]/(0\sim 1)\to X$

의 길이

$\mathrm{length}\gamma =\underset{n\in {\mathbb{Z}}^{+}}{\sup }\underset{t_0,t_1,t_2,\dots ,t_n\in [0,1]}{\sup }\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_i))\in [0,\mathrm{\infty }]$

를 생각하자.

$X$의 수축량은 다음과 같다.

$\mathrm{sys}X=\inf \{\mathrm{length}\gamma :\gamma \in {𝒞}^0({𝕊}^1,X),1_{{\pi }_1(X,\gamma (0))}\ne [\gamma ]\in {\pi }_1(X,\gamma (0))\}$

여기서 ${\pi }_1(X,\gamma (0))$은 점을 가진 공간 $(X,\gamma (0))$의 기본군이다. 즉, 기본군에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 폐곡선의 길이의 하한이다.

$n$차원 연결 콤팩트 리만 다양체 $M$의 수축량비(收縮量比, 틀:Llang)는 다음과 같은 값이다.

$\mathrm{SR}(M)=\frac{(\mathrm{sys}M{)}^n}{\mathrm{vol}M}\in [0,\mathrm{\infty }]$

(만약 $M$이 단일 연결 공간이라면, 수축량비는 무한대이다.)

성질

임의의 리만 다양체 구조가 주어진 2차원 원환면 ${𝕋}^2$을 생각하자. 그 위에는 다음과 같은 뢰브너 부등식(틀:Llang)이 성립한다.

$\mathrm{SR}{𝕋}^2\le \frac{2}{\sqrt{3}}$

여기서 $\mathrm{vol}({𝕋}^2)$는 원환면의 넓이이다.

마찬가지로, 실수 사영 평면 $ℝ{\mathrm{P}}^2$ 위에는 다음과 같은 푸 부등식([蒲]不等式, 틀:Llang)이 성립한다.

$\mathrm{SR}ℝ{\mathrm{P}}^2\le \frac{\pi }{2}$

각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다.

곡면	수축량비의 상한	수축량비의 상한을 포화하는 리만 계량
구 ${𝕊}^2$	∞	(기본군이 자명군)
원환면 ${𝕋}^2$	$2/\sqrt{3}$	정삼각형 격자의 몫 $ℂ/(\mathbb{Z}+\exp (\pi \mathrm{i}/3)\mathbb{Z})$으로 주어지는, 곡률 0의 원환면
실수 사영 평면 $ℝ{\mathrm{P}}^2$	$\pi /2$	대칭 구의 대척점에 대한 몫 $\{x\in {ℝ}^3:\Vert x\Vert =1\}/(x\sim -x)$
클라인 병 $ℝ{\mathrm{P}}^2\mathrm{\#}ℝ{\mathrm{P}}^2$	$\pi /\sqrt{8}$

보다 일반적으로, 종수 $g$의 콤팩트 가향 곡면 ${\mathrm{\Sigma }}_g$에 대하여, $g\ge 1$일 경우 다음이 성립한다.

$\mathrm{SR}({\mathrm{\Sigma }}_g)\le 2$

사실, 충분히 큰 $g$에 대하여, 다음이 항상 성립하게 되는, 종수에 의존하지 않는 두 상수 $C_{+},C_{-}$가 존재한다.

$C_{-}\frac{(\ln g{)}^2}{g}\le \mathrm{SR}({\mathrm{\Sigma }}_g)\le C_{+}\frac{(\ln g{)}^2}{g}$

그로모프 부등식

연결 콤팩트 리만 다양체 $M$에서, 다음이 성립한다면, $M$을 본질적 다양체(틀:Llang)라고 하자.

자연스러운 군 준동형 ${\mathrm{H}}_{\dim M}(M;R)\to {\mathrm{H}}_{\dim M}(\mathrm{K}({\pi }_1(M),1);R)$ 아래, 기본류 $[M]\in {\mathrm{H}}_{\dim M}(M)$의 상이 자명하지 않다. 여기서 $R$는 $M$이 가향 다양체일 때 $R=\mathbb{Z}$이며, 아닐 때 $R={𝔽}_2$이다. $\mathrm{K}(-,-)$는 에일렌베르크-매클레인 공간이다.

그로모프 부등식(틀:Llang)에 따르면, 각 차원 $n$에 대하여, 모든 $n$차원 본질적 다양체들의 수축량비들의 집합은 (차원에만 의존하는) 상한 $C_n$을 갖는다.

$\mathrm{SR}M\le C_n$

역사

수축량의 개념은 카를 뢰브너(틀:Llang, 틀:Llang, 틀:Llang, 1893~1968)가 도입하였다. “수축량”(틀:Llang)이라는 용어는 마르셀 베르제가 1980년에 도입하였다. 이는 원래 생물학에서 심장의 수축을 뜻하는 용어이며, 틀:Llang(수축)에서 유래하였다.