쿠런트 준대수

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 쿠런트 준대수(Courant準代數, 틀:Llang)는 리 준대수와 이차 리 대수의 개념의 공통적인 일반화이다.

정의

반대칭이 아닌 괄호를 통한 정의

쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• 벡터 다발 사상 $\rho :E\to \mathrm{T}M$, $s\mapsto {\rho }_s$. 이를 닻(틀:Llang)이라고 한다. 이를 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$ 위의 1차 미분 연산자로 간주하자.
• $E$ 위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $⟨-,-⟩:E\otimes E\to ℝ\times M$
• 단면 위의 쌍선형 형식 $\delta :{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{End}(E))$, $\varphi \mapsto {\delta }_{\varphi }$.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• $[{\delta }_s,{\delta }_t]={\delta }_{{\delta }_{s}t}$
• ${\delta }_s(ft)=({\rho }_{s}f)t+f{\delta }_{s}t$
• $[{\rho }_s,{\rho }_t]={\rho }_{{\delta }_{s}t}$
• ${\rho }_s⟨t,u⟩=⟨{\delta }_{s}t,u⟩+⟨t,{\delta }_{s}u⟩=⟨s,{\delta }_{t}u+{\delta }_{u}t⟩$

반대칭인 괄호를 통한 정의

쿠런트 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• 1차 미분 연산 $D:{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$
• $E$ 위의 올별 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $⟨-,-⟩:E\otimes E\to ℝ\times M$
• $E$ 위의 올별 반대칭 쌍선형 형식 $[-,-]:E\otimes E\to ℝ\times M$

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• $⟨Df,[s,t]⟩=⟨D⟨Df,t⟩,s⟩-⟨D⟨Df,s⟩,t⟩$
• $[s,ft]=f[s,t]+⟨Df,s⟩t-\frac{1}{2}⟨s,t⟩Df$
• $⟨Df,Dg⟩=0$
• $⟨D⟨s,t⟩,u⟩=⟨[u,s]+\frac{1}{2}D⟨u,s⟩,t⟩+⟨s,[u,t]+\frac{1}{2}D⟨u,t⟩⟩$
• $[[s,t],u]+[[t,u],s]+[[u,s],t]=\frac{1}{6}(⟨[s,t],u⟩+⟨[t,u],s⟩+⟨[u,s],t⟩)$

이 두 정의는 서로 동치이며, 그 사이의 관계는 다음과 같다.

$[s,t]={\delta }_{s}t-{\delta }_{t}s$

${\delta }_{s}t=[s,t]+\frac{1}{2}D⟨s,t⟩$

$⟨Df,s⟩={\rho }_{s}f$

디랙 구조

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $2n$차원 쿠런트 준대수 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 내적 $⟨-,-⟩$의 부호수가 $(n,n)$이라고 하자. 그렇다면, $E$의 디랙 구조 $L\subseteq E$는 다음 조건을 만족시키는 부분 벡터 다발이다.

$\dim L=n$

$⟨s,t⟩=0\mathrm{\forall }s,t\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(L)$

${\delta }_{s}t=[s,t]\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(L)\mathrm{\forall }s,t\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(L)$

예

접다발과 쌍대접다발의 직합

매끄러운 다양체 $M$ 및 닫힌 3차 미분 형식

$H\in {\mathrm{\Omega }}^3(M)$

$\mathrm{d}H=0$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$E=\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$

위에

${\delta }_{X+\xi }(Y+\eta )=[X,Y]+({ℒ}_X\eta -Y⌟\mathrm{d}\xi +X⌟Y⌟H)$

와 같은 괄호를 주자. 여기서

• $ℒ$은 벡터장 또는 1차 미분 형식의 리 미분이다.
• $⌟$는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.

그렇다면, $(M,E)$는 쿠런트 준대수의 구조를 이룬다. 여기서

• $\rho :\mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M$은 사영 사상이다.
• $D:{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)\to \mathrm{T}M\oplus {\mathrm{T}}^{*}M$은 단순히 $f\mapsto 0+\mathrm{d}f$이다.

이차 리 대수

한원소 공간 위의 쿠런트 준대수의 개념은 이차 리 대수의 개념과 동치이다.

역사

류장쥐(틀:Zh) · 앨런 와인스틴(틀:Llang) · 쉬핑(틀:Zh)이 1997년에 도입하였다. 이 개념의 이름은 미국의 수학자 시어도어 제임스 쿠런트(틀:Llang)의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab