계승 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 자연수의 계승(階乘, 틀:문화어) 또는 팩토리얼(틀:Llang)은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 n에 상대하여 이르는 말이다. 기호는 느낌표(!)를 쓰며 팩토리얼이라고 읽는다.

팩토리얼 수열 틀:OEIS. 과학적 기수법으로 지정된 값들은 표현 정확도에 맞추어 어림수로 표시함

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	틀:Gaps
8	틀:Gaps
9	틀:Gaps
10	틀:Gaps
11	틀:Gaps
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19	틀:Gaps
20	틀:Gaps
25	틀:Val
50	틀:Val
70	틀:Val
100	틀:Val
450	틀:Val
틀:Gaps	틀:Val
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틀:Gaps	틀:Val
틀:Gaps	틀:Val
[[googol|틀:Val]]	$10^{10^{101.9981097754820}}$

정의

음이 아닌 정수 n의 계승 n!은 다음과 같이 정의된다.

$n!=\prod _{k=1}^{n}k=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$

특히, 0의 계승은 1이다.

$0!=1$

처음 몇 계승은 다음과 같다.

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... 틀:OEIS

쉽게 정리하면 5! = 1×2×3×4×5이다.

복소수의 계승

틀:본문 감마 함수를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 복소수까지 확장할 수 있다. 감마 함수 $\mathrm{\Gamma }$의 정의역은 $ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}$이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t(\mathrm{Re}z>0)$

감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)(n\in \mathbb{N})$

이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 $z$의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$z!=\mathrm{\Gamma }(z+1)(z\in ℂ\setminus \{-1,-2,\dots \})$

특히, 반정수의 계승은 다음과 같다.

$(n-1/2)!=\sqrt{\pi }(2n-1)!!/2^n=\sqrt{\pi }\prod _{k=1}^n(k-1/2)(n\in \mathbb{N})$

기수의 계승

계승이 대칭군의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 기수까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 $\kappa$의 계승 $\kappa !$는 다음과 같다.틀:Rp

$\kappa !=|\mathrm{Sym}(\kappa )|=\{\begin{array}{cc}\kappa (\kappa -1)(\kappa -2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1& \kappa <{\mathrm{\aleph }}_0\\ 2^{\kappa }& \kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$

다중 계승

계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, 다중 계승(多重階乘, 틀:Llang)의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 $k$과 정수 $n>-k$가 주어졌을 때, $n$의 $k$중 계승은 다음과 같다. (이는 $k$번의 계승과 다른 개념이다.)

$n{!}_k=\prod _{m=0}^{\lfloor (n-1)/k\rfloor }(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots$

특히, $-k<n\le 0$일 경우 다음과 같다.

$1=0{!}_k=(-1){!}_k=(-2){!}_k=\cdots =(-(k-1)){!}_k$

예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, 이중 계승(二重階乘, 틀:Llang)은 다음과 같다. 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여,

$(2n)!!=2^{n}n!=\prod _{k=1}^{n}2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots 6\cdot 4\cdot 2$

$(2n-1)!!=(2n)!/(2^{n}n!)=\prod _{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots 5\cdot 3\cdot 1$

특히, $1=0!!=(-1)!!$이다.

처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... 틀:OEIS

1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... 틀:OEIS

1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... 틀:OEIS

지수 계승

계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, 삼각수의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 $n$의 삼각수 $T_n$은 다음과 같다.

$T_n=n(n+1)/2=\sum _{k=1}^{n}k=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +2+1$

계승의 정의에서 곱셈 대신 거듭제곱을 사용하면, 지수 계승(指數階乘, 틀:Llang)의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 $n$의 지수 계승 $a_n$은 다음과 같다.

$a_n=n^{(n-1{)}^{(n-2{)}^{{\cdots }^{2^1}}}}$

처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.

1, 1, 2, 9, 262144, ... 틀:OEIS

성질

항등식

계승·$k$중 계승·지수 계승의 점화식은 각각 다음과 같다.

$n!=n(n-1)!$

$n{!}_k=n(n-k){!}_k$

$a_n=n^{a_{n-1}}$

점근 공식

틀:본문 또한, 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$\sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n<n!<\sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n{e}^{1/(12n)}$

특히, 큰 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 계승에 대한 스털링 근사는 다음과 같다.

$n!\approx \sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n$

수론적 성질

윌슨 정리

틀:본문 2 이상의 정수 $p$에 대해 다음이 성립한다

• $p$가 소수이면 $(p-1)!$을 $p$로 나눈 나머지가 $p-1$이다.
• $(p-1)!$를 $p$로 나눈 나머지가 $p-1$이면 $p$가 소수이다.

르장드르 공식

임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 및 소수 $p$에 대하여, $p\mid n!$은 $p\le n$과 동치이다. 또한, 르장드르 공식(Legendre公式, 틀:Llang)에 따르면, $n!$의 소인수 분해에서 $p$의 지수 $v_p(n!)$는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)

$v_p(n!)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{p^k}\rfloor =\frac{n-{\alpha }_p(n)}{p-1}$

여기서

• $\lfloor -\rfloor$는 바닥 함수이다.
• ${\alpha }_p(n)$은 $n$의 p진법 전개의 자릿수의 합이다.

관련 개념

소수 계승

틀:본문 음이 아닌 정수 $n$의 소수 계승은 $n$ 이하의 모든 소수의 곱이다.

역사

계승의 기본적인 개념은 n개의 원소의 순열의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.

틀:Llang이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(틀:Llang)가 사용하였다. 느낌표 표기법은 1808년 수학자 크리스티앙 크랑(틀:Llang)이 저서 《보편 산술 원론》(틀:Llang)에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 틀:Llang)라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.

같이 보기

• 큐-팩토리얼
• 리우빌 상수

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki
• 틀:Proofwiki