등각 벡터장

틀:위키데이터 속성 추적 리만 기하학에서 등각 벡터장(等角vector場, 틀:Llang)은 킬링 벡터장의 일반화이다.

정의

일반화 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 닮음 벡터장(틀:Llang) $(X,\varphi )$는 다음을 만족시키는, 벡터장 $X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)$과 실수 $c\in ℝ$의 순서쌍이다.

${ℒ}_{X}g=cg$

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu }=c{g}_{\mu \nu }$

만약 $c=0$인 경우는 $X$는 킬링 벡터장이므로, 닮음 벡터장은 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

등각 벡터장(틀:Llang) $(X,\varphi )$는 다음을 만족시키는, 벡터장 $X\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)$과 스칼라장 $\varphi \in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$의 순서쌍이다.틀:Rp

${ℒ}_{X}g=\varphi g$

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{X}_{\nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{X}_{\mu }=\varphi g_{\mu \nu }$

스칼라장 $\varphi$는 등각 인자(等角因子, 틀:Llang)라고 불린다. 만약 $\varphi$가 상수 함수인 경우는 $X$는 닮음 벡터장이므로, 등각 킬링 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 벡터장을 일반화한 것이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

개념	킬링 벡터장	⇒	닮음 킬링 벡터장	⇒	등각 벡터장	⇒	벡터장
등각 킬링 인자가 …	0		상수 함수		임의의 스칼라 함수		(없음)

등각 인자의 조건

$d$차원 일반화 리만 다양체에서 어떤 스칼라장 $\varphi$가 등각 인자가 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.틀:Rp

$((d-2){\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }+g_{\mu \nu }{g}^{\rho \sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\rho }{\mathrm{\nabla }}_{\sigma })\varphi =0$

위 조건을 $g^{\mu \nu }$로 축약시키면, 모든 차원에서 등각 인자들은 라플라스-벨트라미 연산자 $g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }$에 대한 조화 함수인 것을 알 수 있다. $d=2$인 경우, 이 조건은 필요 충분 조건이다. 즉, 등각 인자일 조건은 조화 함수인 조건과 동치이다.