대칭 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 대칭 다항식(對稱多項式, 틀:Lang)은 변수의 위치를 뒤바꿔도 변하지 않는 다변수 다항식이다.

정의

다항식 $f \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ ( $K$ 는 체)가 다음 조건을 만족시키면, 대칭 다항식이라고 한다.

임의의 $σ \in S_{n}$ 에 대하여, $f (x_{σ (1)}, \dots, x_{σ (n)}) = f (x_{1}, \dots, x_{n})$

또한, $n$ 변수 $(α_{1}, \dots, α_{n})$ 차 단항 대칭 다항식(單項對稱多項式, 틀:Llang) $m_{n, α} \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 은 다음과 같다.

m_{n, α} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{σ \in S_{n}} x_{σ (1)}^{α_{1}} \dots x_{σ (n)}^{α_{n}}

또한, $n$ 변수 $k$ 차 기본 대칭 다항식(基本對稱多項式, 틀:Llang) $e_{n, k} \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 은 다음과 같다.

e_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} x_{i_{1}} \dots x_{i_{k}}

또한, $n$ 변수 $k$ 차 멱합 대칭 다항식(冪合對稱多項式, 틀:Lang) $s_{n, k} \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 은 다음과 같다.

s_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{k} = x_{1}^{k} + \dots + x_{n}^{k}

또한, $n$ 변수 $k$ 차 완전 동차 대칭 다항식(完全同次對稱多項式, 틀:Llang) $h_{n, k} \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 은 다음과 같다.

h_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{1 \leq i_{1} \leq \dots \leq i_{k} \leq n} x_{i_{1}} \dots x_{i_{k}} = \sum_{k_{1}, \dots, k_{n} \geq 0}^{k_{1} + \dots + k_{n} = k} x_{1}^{k_{1}} \dots x_{n}^{k_{n}}

모든 대칭 다항식 $f \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 에 대하여, $f = g (e_{n, 1}, \dots, e_{n, n})$ 인 $g \in K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 가 존재한다.