뮤어헤드의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 뮤어헤드의 부등식(Muirhead's inequality, -不等式)은 로버트 프랭클린 뮤어헤드(Robert Franklin Muirhead)의 이름을 붙인 부등식이다. 뉴턴의 부등식 및 매클로린의 부등식과 유사하게 대칭적인 형태의 식에 관한 부등식 중 하나로, 상당히 강력한 부등식의 일종이다. 이 부등식을 이용하여 산술-기하 평균 부등식을 유도할 수도 있다.

공식화

2n개의 실수 $a_n\le a_{n-1}\le ...\le a_1$ 와 $b_n\le b_{n-1}\le ...\le b_1$ 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

1. $\sum _{i=1}^k{b}_i\le \sum _{i=1}^k{a}_i.$ (k<n인 모든 자연수 k에 대하여)
2. $\sum _{i=1}^n{b}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i.$

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

• n개의 임의 양의 실수 $x_1,x_2,...,x_n$ 에 대하여, $\sum _{sym}{x}_1^{b_1}{x}_2^{b_2}...x_n^{b_n}\le \sum _{sym}{x}_1^{a_1}{x}_2^{a_2}...x_n^{a_n}.$

여기서, $\sum _{sym}f(x_1,x_2,...,x_n)$ 은 $(x_1,x_2,...,x_n)$ 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, $\sum _{sym}f(x,y,z)$ 은 $f(x,y,z)+f(x,z,y)+f(y,z,x)+f(y,x,z)+f(z,x,y)+f(z,y,x)$ 을 의미한다.

같이 보기

• 뉴턴의 부등식
• 매클로린의 부등식

참고 문헌

• 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008