모리타 문맥

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 모리타 문맥([森田]文脈, 틀:Llang)은 두 개의 쌍가군으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 모리타 환([森田]環, 틀:Llang)이라는, 2×2 행렬들로 구성된 환을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 삼각환(三角環, 틀:Llang)이라고 하며, 이는 2×2 상삼각행렬들로 구성된다.

정의

행렬을 통한 정의

환 $R$와 $S$ 사이의 모리타 문맥은 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• $(R,S)$-쌍가군 ${}_R{M}_S$
• $(S,R)$-쌍가군 ${}_S{N}_R$
• $(R,R)$-쌍가군 준동형 $\varphi :{}_R(M{\otimes }_{S}N{)}_R\to {}_R{R}_R$
• $(S,S)$-쌍가군 준동형 $\psi :{}_S(N{\otimes }_{R}M{)}_S\to {}_S{S}_S$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ${\mathrm{id}}_M{\otimes }_S\psi =\varphi {\otimes }_R{\mathrm{id}}_N$
• $\psi {\otimes }_S{\mathrm{id}}_N={\mathrm{id}}_M{\otimes }_{R}N$

모리타 문맥 $(R,S,M,N,\varphi ,\psi )$이 주어졌을 때, 아벨 군

$R\oplus M\oplus N\oplus S$

위에 다음과 같은 이항 연산을 부여하면 이는 환을 이루며, 이를 모리타 환(틀:Llang)이라고 한다.

$(r,m,n,s)(r^{\prime },m^{\prime },n^{\prime },s^{\prime })=(r{r}^{\prime }+\varphi (m{\otimes }_S{n}^{\prime }),r{m}^{\prime }+m{s}^{\prime },n{r}^{\prime }+s{n}^{\prime },s{s}^{\prime }+\psi (n{\otimes }_R{m}^{\prime }))$

$R\oplus M\oplus N\oplus S$의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬

$\left(\begin{array}{cc}r& m\\ n& s\end{array}\right)(r\in R,m\in M,n\in N,s\in S)$

로 나타내며 $\varphi$와 $\psi$를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로

$\left(\begin{array}{cc}R& M\\ N& S\end{array}\right)$

로 표기한다.

특수한 경우로, $N=0$이며 $\varphi$, $\psi$는 영 쌍가군을 정의역으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$은 상삼각행렬로 구성되며, 이를 삼각환이라고 한다.틀:Rp틀:Rp 즉, 이는 아벨 군으로서 직합 $R\oplus M\oplus S$이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.

$(r,m,s)(r^{\prime },m^{\prime },s^{\prime })=(r{r}^{\prime },r{m}^{\prime }+m{s}^{\prime },s{s}^{\prime })(r,r^{\prime }\in R,m,m^{\prime }\in M,s,s^{\prime }\in S)$

멱등원을 통한 정의

삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.틀:Rp 모리타 문맥 $(T,e)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $T$는 환이다.
• $e\in T$는 멱등원이다. 즉, $e^2=e$를 만족시킨다.

이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, $(T,e)$가 주어졌을 때,

$R=eTe$

$S=(1-e)T(1-e)$

$M=eT(1-e)$

$N=(1-e)Te$

$\varphi :(eT(1-e){\otimes }_R(1-e)Te)\to eTe$

$\varphi :(et(1-e){\otimes }_R(1-e)t^{\prime }e)\mapsto et(1-e)t^{\prime }e$

$\psi :((1-e)Te{\otimes }_{S}eT(1-e))\to (1-e)T(1-e)$

$\psi :((1-e)te{\otimes }_{S}e{t}^{\prime }(1-e))\mapsto (1-e)te{t}^{\prime }(1-e)$

로 놓으면, $(R,S,M,N,\varphi ,\psi )$는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 $(R,S,M,N,\varphi ,\psi )$이 주어졌을 때,

$T=\left(\begin{array}{cc}R& M\\ N& S\end{array}\right)$

$e=\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_M\\ 0_N& 0_S\end{array}\right)$

로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 $N=(1-e)Te=0$일 경우, $(T,e)$는 삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$을 정의한다.

준가법 범주를 통한 정의

모리타 문맥의 개념은 범주론적으로 간단히 정의할 수 있다.

모리타 문맥은 2개의 대상을 갖는 준가법 범주(즉, 아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$ 위의 풍성한 범주)이다.틀:Rp 이러한 준가법 범주 $𝒞$가 주어졌으며, 그 두 대상이 $X$와 $Y$라고 하자. 그렇다면

$R={\mathrm{End}}_{𝒞}(X)={\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,X)$

$S={\mathrm{End}}_{𝒞}(Y)={\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,Y)$

$M={\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)$

$N={\mathrm{hom}}_{𝒞}(Y,X)$

로 놓으면, (준가법 범주에서의 자기 사상 모노이드는 환을 이루므로) $R$와 $S$는 자연스럽게 환의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 $M$은 $(R,S)$-쌍가군, $N$은 $(S,R)$-쌍가군을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상

$\varphi :M{\otimes }_{S}N\to R$

$\psi :N{\otimes }_{S}M\to S$

이 존재한다. 만약 $N=0$일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

2-범주를 통한 정의

2-범주 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, 2-범주 $𝒞$ 속의 모리타 문맥 $(R,S,M,N,\varphi ,\psi )$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• $R$와 $S$는 $𝒞$의 대상(=0-사상)이다.
• $M:R\to S$와 $N:S\to R$는 $𝒞$의 1-사상이다.
• $\varphi :N\circ M\Rightarrow {\mathrm{id}}_R$와 $\psi :M\circ N\to {\mathrm{id}}_S$는 $𝒞$의 2-사상이다.

다음과 같은 쌍가군 2-범주 $\mathrm{Bimod}$를 생각하자.

• $\mathrm{Bimod}$의 대상(=0-사상)은 환이다.
• $\mathrm{Bimod}$의 두 대상 $R$, $S$ 사이의 1-사상은 $(R,S)$-쌍가군이다. 1-사상의 합성은 쌍가군의 텐서곱 ${(}_S{N}_T)\circ {(}_R{M}_S)={}_R(M{\otimes }_{S}N{)}_T$으로 주어진다.
• $\mathrm{Bimod}$의 두 대상 $R$, $S$ 사이의 두 1-사상 ${}_R{M}_S$, ${}_R{N}_S$ 사이의 2-사상은 $(R,S)$-쌍가군 준동형 $\varphi :M\to N$이다.

그렇다면, 2-범주 $\mathrm{Bimod}$ 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 동치이다.

성질

삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$은 가환환이다.
• $R$와 $S$는 가환환이며, $M=0$이다.

아이디얼

환 $R$와 $S$ 및 $(R,S)$-쌍가군 ${}_R{M}_S$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$의 왼쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.틀:Rp

$N\oplus 𝔖$

여기서

• $𝔖\subseteq S$는 $S$의 왼쪽 아이디얼이다.
• $N\subseteq R\oplus M$은 ${}_{R}R\oplus {}_{R}M$의 $R$-부분 가군이며, $M𝔖\subseteq N\cap M$이다.

마찬가지로, 삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$의 오른쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.틀:Rp

$\Re \oplus N$

여기서

• $\Re \subseteq R$는 $R$의 오른쪽 아이디얼이다.
• $N\subseteq M\oplus S$은 $M_S\oplus S_S$의 $S$-부분 가군이며, $\Re M\subseteq N\cap M$이다.

마찬가지로, 삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$의 양쪽 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.틀:Rp

$𝔯\oplus N\oplus 𝔰$

여기서

• $𝔯\subseteq R$는 $R$의 양쪽 아이디얼이다.
• $𝔰\subseteq S$는 $S$의 양쪽 아이디얼이다.
• ${}_R{N}_S\subseteq {}_{R}M{}_S$은 ${}_R{M}_S$의 $(R,S)$-부분 쌍가군이며, $𝔯M\subseteq N$이자 $M𝔰\subseteq N$이다.

뇌터·아르틴 조건

삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$은 왼쪽 뇌터 환이다.
• $R$와 $S$는 왼쪽 뇌터 환이며, ${}_{R}M$은 $R$-뇌터 가군이다.

삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$은 오른쪽 뇌터 환이다.
• $R$와 $S$는 오른쪽 뇌터 환이며, $M_S$은 $S$-뇌터 가군이다.

삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$은 왼쪽 아르틴 환이다.
• $R$와 $S$는 왼쪽 아르틴 환이며, ${}_{R}M$은 $R$-아르틴 가군이다.

삼각환 $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $(\begin{array}{cc}R& M\\ 0& S\end{array})$은 오른쪽 아르틴 환이다.
• $R$와 $S$는 오른쪽 아르틴 환이며, $M_S$은 $S$-아르틴 가군이다.

예

자명한 경우

만약 $M=N=0$이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 환의 직접곱과 같다.

$\left(\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& S\end{array}\right)\cong R\times S$

만약 $R=S$이며, $M=𝔪\subseteq R$과 $N=𝔫\subseteq R$이 $R$의 양쪽 아이디얼이라면, 모리타 환

$\left(\begin{array}{cc}R& 𝔪\\ 𝔫& R\end{array}\right)\subseteq \mathrm{Mat}(2;R)$

은 $R$ 계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥

환 $R$ 위의 오른쪽 가군 $M_R$가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.틀:Rp

• $S=\mathrm{hom}(M_R,M_R)$
• ${}_R{N}_S=\mathrm{hom}({}_S{M}_R,{}_R{R}_R)$
• $\varphi :M{\otimes }_{R}N\to S$, $(m{\otimes }_{R}n)\mapsto (m^{\prime }\mapsto mn(m^{\prime }))$
• $\psi :N{\otimes }_{S}M\to R$, $(n{\otimes }_{R}m)\mapsto n(m)$

이러한 모리타 문맥은 모리타 동치의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 $M_R$가 유한 생성 사영 가군이며 오른쪽 가군 범주 ${\mathrm{Mod}}_R$의 생성 대상이라면, 이는 $R$와 $S$ 사이의 모리타 동치를 정의한다.

역사

모리타 문맥과 모리타 환은 모리타 기이치가 모리타 동치 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"(틀:Llang)이라는 용어는 하이먼 배스가 도입하였다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab