르레-이르슈 정리

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 르레-이르슈 정리(Leray-Hirsch定理, 틀:Llang)는 올다발의 전체 공간의 코호몰로지가 적절한 가정 아래 밑공간과 올공간의 코호몰로지의 텐서곱과 (비표준적으로) 동형이라는 정리이다. 퀴네트 정리를 곱공간에서 올다발로 일반화한 것이다.

정의

가환환 $R$와 올다발

$F\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }E\stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }B$

이 주어졌다고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• 올 $F$의 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(F;R)$는 각 차수에서 유한 생성 자유 $R$-가군이다.
• ${\iota }^{*}:{\mathrm{H}}^{\bullet }(E;R)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(F;R)$는 전사 가군 준동형이다.

${\iota }^{*}$의 임의의 단면

$s:{\mathrm{H}}^{\bullet }(F;R)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(E;R)$

${\iota }^{*}\circ s={\mathrm{id}}_{{\mathrm{H}}^{\bullet }(F;R)}$

이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 르레-이르슈 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음 사상은 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(B;R)$-가군의 동형을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 환의 동형을 이루지 않는다.)

${\mathrm{H}}^{\bullet }(F;R){\otimes }_R{\mathrm{H}}^{\bullet }(B;R)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(E;R)$

$\alpha {\otimes }_R\beta \mapsto s(\alpha )⌣{\pi }^{*}(\beta )$

증명

르레-이르슈 정리는 세르 스펙트럼 열을 사용하여 증명할 수 있다.

역사

프랑스의 장 르레와 벨기에의 기 이르슈(틀:Llang, 1915~1993)가 증명하였다.

외부 링크

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