핀슬러 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 핀슬러 다양체(틀:Llang)는 리만 다양체의 일반화이다. 각 접공간 위에 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이 주어진 리만 다양체와 달리, 대신 (일반화) 노름이 주어진다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 접다발 $TM$ 위의 핀슬러 함수(틀:Llang)는 다음 조건을 만족시키는 함수

$F:TM\to [0,\mathrm{\infty })$

이다.

• $F$는 $TM\setminus M$ 위에서 매끄러운 함수이다.
• $(x,v)\in TM$에 대하여, 만약 $v=0$이라면 $F(x,v)=0$이며, $v\ne 0$이라면 $F(x,v)>0$이다.
• (동차성) 임의의 $\lambda \in {ℝ}^{+}$ 및 $x\in M$ 및 $v\in T_{x}M$에 대하여, $\lambda F(x,v)=F(x,\lambda v)$
• (준가법성) 임의의 $x\in M$ 및 $u,v\in T_{x}M$에 대하여, $F(x,u+v)\le F(x,u)+F(x,v)$

핀슬러 함수를 갖춘 매끄러운 다양체 $(M,F)$를 핀슬러 다양체라고 한다.

만약 핀슬러 다양체 $(M,F)$에 대하여, 임의의 $(x,v)\in TM$에 대하여 $F(x,v)=F(x,-v)$라면 이를 가역 핀슬러 다양체(틀:Llang)라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 접공간 위에 노름을 정의한다.

거리와 측지선

핀슬러 다양체 $(M,F)$ 위의 매끄러운 곡선 $\gamma :[a,b]\to M$의 길이(틀:Llang)는 다음과 같다.

$\mathrm{length}[\gamma ]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(\gamma (t),\dot{\gamma }(t))dt$

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형 $s:[a,b]\to [a^{\prime },b^{\prime }]$에 대하여, $\mathrm{length}[\gamma \circ s]=\mathrm{length}[\gamma ]$이다.

임의의 두 점 $x,y\in M$ 사이의 거리(틀:Llang) $\mathrm{dist}(x,y)$는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

$\mathrm{dist}(x,y)={\inf }_{\gamma :[0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\gamma (1)=y}L(\gamma )$

그렇다면, $(M,\mathrm{dist})$는 길이 거리 공간을 이룬다. 따라서, 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다.

$E[\gamma ]=\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{(F(\gamma (t),\dot{\gamma }(t)))}^{2}dt$

기본 텐서

핀슬러 다양체 $(M,F)$가 주어졌을 때, $\frac{1}{2}{F}^2$의 접공간 방향의 헤세 행렬은 $TM\setminus M$ 위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서 $g$를 이루며, 이를 기본 텐서(틀:Llang)라고 한다.

$(g{|}_{x,v}{)}_{ij}=\frac{1}{2}\frac{}{\partial v^i\partial v^j}{F}^2\mathrm{\forall }(x,v)\in TM$

이는 접공간 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발

$PTM=\frac{TM\setminus M}{(x,v)\sim (x,\lambda v)\mathrm{\forall }\lambda \in {ℝ}^{+}}$

위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서

$F(x,v{)}^2=\sum _{ij}{g}_{ij}(x,v)v^i{v}^j$

가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다.

기본 형식이 $TM$ 위에서 양의 정부호라면, $(M,F)$를 강하게 볼록 핀슬러 다양체(틀:Llang)라고 한다. 일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다.

힐베르트 형식

핀슬러 다양체 $(M,F)$의 사영 접다발 $PTM$ 위에 다음과 같은 힐베르트 형식(틀:Llang)이라는 1차 미분 형식을 정의할 수 있다.

$\omega =\sum _i\frac{\partial F(x,v)}{\partial v^i}d{x}^i$

$\omega$의 외미분 $d\omega$는 일종의 에레스만 접속을 정의한다.

예

모든 리만 다양체 $(M,g)$는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다.

$F(x,v)=g{|}_x(v,v)\mathrm{\forall }(x,v)\in TM$

반대로, 리만 계량을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다.

란데르스 다양체

리만 다양체 $(M,g)$ 위에 1차 미분 형식 $b\in {\mathrm{\Omega }}^{1}M$이 주어졌으며, 또한

$g^{-1}(b,b){|}_x\le 1\mathrm{\forall }x\in M$

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다.

$F:(x,v)\mapsto \sqrt{g^{-1}(b,b)}{|}_x+b(v)$

이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 란데르스 다양체(틀:Llang)라고 한다. 이는 노르웨이의 군나르 란데르스(틀:Llang)가 도입하였다.

복소다양체 위의 계량

복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다.

역사

독일의 수학자 파울 핀슬러(틀:Llang, 1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다. 이후 1933년에 엘리 카르탕이 "핀슬러 공간"(틀:Llang)이라는 용어를 도입하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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• 틀:저널 인용
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외부 링크

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