파면 집합

틀:위키데이터 속성 추적 조화해석학에서 파면 집합(波面集合, 틀:Llang)은 어떤 분포가 특이점을 갖는 위치 및 방향들의 집합이다. 특이점이 발생하는 위치들의 집합으로 정의되는 고전적 개념인 특이 지지 집합(틀:Llang)과 달리, 파면 집합은 특이점이 발생하는 위치뿐만 아니라 특이점이 일어나는 방향에 대한 정보를 담는다.

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 분포

$F\in {𝒟}^{\prime }(M)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$의 $x\in M$에서의 특이올(틀:Llang)

${\mathrm{\Sigma }}_{x}F\subset T_x^{*}M$

은 다음과 같다.

$\xi \in ̸{\mathrm{\Sigma }}_{x}F⟺\mathrm{\exists }\mathrm{\Gamma }\ni x\mathrm{\exists }\varphi \mathrm{\forall }N\in {\mathbb{Z}}^{+}:\underset{\xi \in \mathrm{\Gamma }}{\sup }(\widehat{\varphi F}(\xi )(1+|\xi |{)}^N)<\mathrm{\infty }$

여기서

• $\mathrm{\exists }\mathrm{\Gamma }\ni x$는 $x$를 포함하는 열린 뿔 $\mathrm{\Gamma }\subseteq T_x^{*}M$이 존재하는 것을 뜻한다.
• 뿔(틀:Llang)이란 임의의 음이 아닌 실수 $\lambda$에 대하여, $\lambda$에 대한 곱에 대하여 닫혀 있는 집합이다.
• $\mathrm{\exists }\varphi$는 국소좌표계 $U$ 위에 정의된, $\varphi (x)\ne 0$인 콤팩트 지지 매끄러운 함수 $\varphi \in {𝒞}_0^{\mathrm{\infty }}(U)$가 존재함을 뜻한다.
• $\stackrel{}{^}$은 국소 좌표계에서의 푸리에 변환을 뜻한다.
• $|\xi |$는 적절한 리만 계량에 대한 노름이다. (이 정의는 리만 계량의 선택에 의존하지 않는다.)

특이올은 열린집합들의 합집합의 여집합이므로, $T_x^{*}M$ 속의 닫힌집합이다.

$F$의 파면 집합

$\mathrm{WF}F\subset T^{*}M$

은 특이올들의 합집합이다.

$\mathrm{WF}F=\{(x,\xi )\in T^{*}M:\xi \in {\mathrm{\Sigma }}_{x}F\}$

이는 항상 닫힌집합이다.

예

디랙 델타 분포

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 위의 디랙 델타 분포 $\delta (x)$를 생각하자. 디랙 델타 분포의 푸리에 변환은 상수 함수이며, 따라서 $x=0$에서는 어떤 방향에서도 특이올의 정의에 등장하는 추정이 성립하지 않는다. 따라서, 이 경우 파면 집합은

$\mathrm{WF}\delta =T_0^{*}{ℝ}^n$

이다. 즉, 디랙 델타 분포는 원점에서 모든 방향으로 특이점을 가지며, 디랙 델타 분포의 거듭제곱은 잘 정의되지 않는다.

$ℝ$ 위의 단위 계단 함수

$\theta (x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1& x>0\end{array}$

의 파면 집합 역시

$\mathrm{WF}\theta =T_0^{*}ℝ$

이다.틀:Rp 즉, 디랙 델타 분포의 파면 집합과 같다. 단위 계단 함수의 경우, 특이올의 정의에서 $N=1$인 경우 추정이 성립하지만, $N>1$일 경우 추정이 (어느 방향에서도) 성립하지 않는다.

1/x

$ℝ$ 위에, 분포 $1/(x+iϵ)$은 임의의 콤팩트 지지 매끄러운 함수 $f$에 대하여

$⟨u|f⟩=-i\pi f(0)+\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\int \frac{f(x)-f(-x)}{x}dx$

로 정의된다. (이 표기는 경로적분법을 따른 것이다.) 이 경우

$\mathrm{WF}1/(x+iϵ)=\{(0,\xi ):\xi <0\}$

이다. 즉, ${(1/(x+iϵ))}^2$는 잘 정의된다.

지시 함수

매끄러운 다양체 $M$ 속에, 매끄러운 경계를 갖는 부분 집합 $\mathrm{\Omega }\subset M$이 주어졌다고 하자. 그 위의 지시 함수 ${\chi }_{\mathrm{\Omega }}$의 파면 집합은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{WF}{\chi }_{\mathrm{\Omega }}=\{(x,\xi ):x\in \partial \mathrm{\Omega },\xi \perp \partial \mathrm{\Omega }\}$

응용

일반적으로, 분포의 곱셈은 잘 정의될 수 없다. 그러나 파면 집합에 대한 적절한 조건이 성립한다면 두 분포의 곱을 정의할 수 있게 된다.틀:Rp 구체적으로, 두 분포 $F,G\in {𝒟}^{\prime }(M)$의 곱이 잘 정의되기 위한 충분 조건은

$\mathrm{\forall }(x,\xi )\in T^{*}M:\mathrm{\neg }(\xi \ne 0\wedge (x,\xi )\in \mathrm{WF}F\wedge (x,-\xi )\in \mathrm{WF}G)$

이다. 즉, 두 분포의 특이 지지 집합이 겹치더라도, 특이점의 방향이 일치하지 않는다면 두 분포의 곱을 잘 정의할 수 있다.

역사

라르스 회르만데르가 1970년 경에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용