피타고라스 체

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 틀:Llang)는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다.

정의

체 $K$의 원소 가운데 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다. $a\in K$를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 $P(a)$라고 쓰자.

$p(a)={\min }_{A\subseteq K}^{\sum _{b\in A}{b}^2=b}|A|\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

체 $K$의 피타고라스 수(Πυθαγόρας數, 틀:Llang) $p(K)$는 $K$의 원소에 대하여, 위 함수의 최댓값이다.

$p(K)=\underset{a\in K}{\max }p(a)\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

즉, 피타고라스 수가 유한한 체 $K$에서, 모든 제곱수의 합은 $p(K)$개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

피타고라스 수가 1인 체를 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 틀:Llang)라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 모노이드를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 $K$를 피타고라스 체라고 한다.

$\mathrm{\forall }a,b\in K\mathrm{\exists }c\in K:a^2+b^2=c^2$

기하학적으로, 이는 피타고라스의 정리와 유사하다. 즉, 만약 $K\subseteq ℝ$라면, 직각 삼각형에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 $K$에 속한다면, 나머지 변도 $K$에 속해야 한다.

체 $K$의 대수적 폐포 $\overline{K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $\overline{K}$ 속에, $K$를 포함하는 최소의 피타고라스 체 $K^{\mathrm{py}}$가 존재한다. 이를 $K$의 피타고라스 폐포(Πυθαγόρας閉包, 틀:Llang)라고 한다.

성질

임의의 체 $K$에 대하여, 피타고라스 수와 수준 $s(K)$ 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.틀:Rp

$p(K)\le s(K)+1$

모든 양의 정수 $n$에 대하여, 피타고라스 수가 $n$인 형식적 실체가 존재한다.틀:Rp

형식적 실체가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.틀:Rp

• $\mathrm{\infty }$
• $2^{n}n\in \mathbb{N}$
• $2^n-1n\in \mathbb{N}$

예

피타고라스 수의 예는 다음과 같다.

체	피타고라스 수
대수적으로 닫힌 체 $\overline{K}$	1
유한체 ${𝔽}_q$	2
유리수체 $\mathbb{Q}$	4 (라그랑주 네 제곱수 정리)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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