프뤼퍼 군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 프뤼퍼 군(Prüfer群, 틀:Llang)은 분모가 어떤 주어진 소수의 거듭제곱인 유리수들의 법 1 합동류들로 구성된 아벨 군이다. 여러 특수한 성질을 가진다.

정의

소수 $p$ 에 대하여, 다음 아벨 군들이 서로 동형이며, 이를 프뤼퍼 군 $ℤ (p^{\infty})$ 이라고 한다.

1의 $p^{n}$ 거듭제곱근들의 곱셈군 ${\exp (2 π i m / p^{n}) ∣ m \in ℤ, n \in ℤ^{+}} ⊊ U (1)$
몫군 $ℚ / ℤ$ 의 쉴로브 $p$ -부분군
$p$ 진수체 덧셈군의 $p$ 진 정수환 덧셈군에 대한 몫군 $ℚ_{p} / ℤ_{p}$
군의 표시 $⟨ g_{1}, g_{2}, g_{3}, \dots ∣ g_{1}^{p} = 1, g_{2}^{p} = g_{1}, g_{3}^{p} = g_{2}, \dots ⟩$ 에 의하여 정의되는 군
귀납적 극한 $\underset{n \to \infty}{\lim_{\to}} p^{- n} ℤ / ℤ$

프뤼퍼 군의 부분군들은 다음과 같으며, 포함 관계에 따라 전순서 집합을 이룬다.

0 ⊊ (\frac{1}{p} ℤ) / ℤ ⊊ (\frac{1}{p^{2}} ℤ) / ℤ ⊊ (\frac{1}{p^{3}} ℤ) / ℤ ⊊ \dots ⊊ ℤ (p^{\infty})

프뤼퍼 군은 부분직접곱 기약군(틀:Llang)이다. 즉, 진부분군들의 부분직접곱으로 나타낼 수 없다. 사실, 아벨 군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정수환 위의 가군으로서, 프뤼퍼 군은 아르틴 가군이지만 뇌터 가군이 아니다.

이산 위상을 부여한 프뤼퍼 군 $ℤ (p^{\infty})$ 의 폰트랴긴 쌍대군은 $p$ 진 정수의 덧셈군 $ℤ_{p}$ 이다.

독일의 수학자 하인츠 프뤼퍼(틀:Llang)가 1923년에 도입하였다.^[1]