디리클레 베타 함수

수학에서 디리클레 베타 함수(Dirichlet beta function) 혹은 카탈랑 베타 함수(Catalan beta function)는 리만 제타 함수와 밀접한 관련이 있는 특수 함수이다. 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

정의

디리클레 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.

β (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{s}}

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

β (s) = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s - 1} e^{- x}}{1 + e^{- 2 x}} d x

β (0) = \frac{1}{2}

β (1) = \tan^{- 1} (1) = \frac{π}{4}

β (2) = G

, 여기서

G

는 카탈랑 상수를 의미한다.

β (3) = \frac{π^{3}}{32}

β (5) = \frac{5 π^{5}}{1536}

β (7) = \frac{61 π^{7}}{184320}

$0$ 이상의 정수 $k$ 에 대하여 $β (- k) = \frac{E_{k}}{2}$ 이다. 여기서 $E_{n}$ 는 오일러 수를 의미한다.

오일러 수 $E_{n}$ 은 $n$ 이 홀수일 때 $0$ 이기 때문에, $k$ 가 홀수일 때 $β (- k) = 0$ 임을 알 수 있다.