후르비츠 제타 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 후르비츠 제타 함수(틀:Llang)는 리만 제타 함수의 일반화이다. 리만 제타 함수와 마찬가지로 함수 방정식을 만족시키고, 유리수에서는 디리클레 L-함수로 나타낼 수 있다.

정의

후르비츠 제타 함수는 $\mathrm{Re}(s)>1$, $\mathrm{Re}(q)>0$인 경우 다음과 같은 급수로 정의된다.

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n+q{)}^{-s}$

이 함수는 $s\ne 1$인 임의의 $s$에 대하여 해석적 연속으로 확장할 수 있다. $q=1$인 경우는 리만 제타 함수가 된다.

성질

$s=1$에서 후르비츠 제타 함수는 유수가 1인 단순극을 가지며, 상수항은 다음과 같다.

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}-\psi (q)+O(s-1)$

여기서 $\psi (q)$는 디감마함수이다.

함수 방정식

후르비츠 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식(틀:Llang)을 만족시킨다. 모든 정수 $1\le m\le n$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\zeta (1-s,\frac{m}{n})=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s)}{(2\pi n{)}^s}\sum _{k=1}^n[\cos (\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi km}{n})\zeta (s,\frac{k}{n})]$

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:수학노트