균등 유계성 원리

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 균등 유계성 원리(均等有界性原理, 틀:Llang) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, 틀:Llang)는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다.

정의

실수 바나흐 공간 $(V,\Vert \cdot {\Vert }_V)$ 및 실수 노름 공간 $(W,\Vert \cdot {\Vert }_W)$ 사이에 일련의 유계 작용소들 $𝒯\subset B(V,W)$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

• (점별 유계성) 모든 $v\in V$에 대하여, $\underset{T\in 𝒯}{\sup }\Vert Tv{\Vert }_W<\mathrm{\infty }$
• (균등 유계성) $\underset{T\in 𝒯}{\sup }\Vert T{\Vert }_{B(V,W)}<\mathrm{\infty }$

여기서 $\Vert \cdot {\Vert }_{B(V,W)}$는 작용소 노름이다.

균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.

• 바나흐 공간 $V$ 및 노름 공간 $W$ 사이의 유계 작용소들의 열 $T_1,T_2,\dots :V\to W$이 선형 변환 $T:V\to W$로 점별 수렴한다면, $T$는 유계 작용소이다.

증명

바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.

베르 범주 정리를 사용한 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.

$\mathrm{\forall }v\in V:\underset{T\in 𝒯}{\sup }\Vert Tv{\Vert }_W<\mathrm{\infty }$

모든 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여

$V_n=\{v\in V|\underset{T\in 𝒯}{\sup }\Vert Tv{\Vert }_W\le n\}$

를 정의하자. 이는 닫힌집합이다.

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n=V$

이므로, 베르 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 및 $v_0\in V_n$, $ϵ\in {ℝ}^{+}$가 존재한다.

$\{v\in V|\Vert v-v_0\Vert \le ϵ\}\subset V_n$

그렇다면 임의의 $v\in V$ ($\Vert v{\Vert }_V\le 1$) 및 $T\in 𝒯$에 대하여

$ϵ\Vert Tv{\Vert }_W={\Vert T(v_0+ϵv)-T{v}_0\Vert }_W\le (\Vert T(v_0+ϵv){\Vert }_W+\Vert T{v}_0{\Vert }_W)\le 2n$

이다. 따라서

$\underset{T\in 𝒯}{\sup }\Vert T{\Vert }_{B(X,Y)}\le 2n/ϵ<\mathrm{\infty }$

이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.

이 밖에도, 앨런 소칼은 베르 범주 정리를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다.

베르 범주 정리를 사용하지 않는 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.

$\underset{T\in 𝒯}{\sup }\Vert Tv{\Vert }_W=\mathrm{\infty }$

그렇다면,

$\Vert T_i\Vert \ge 4^i$

인 작용소 열 $(T_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq 𝒯$를 고를 수 있다. 이제,

$v_0=0$

$\Vert v_i-v_{i-1}\Vert \le 3^{-i}\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}$

$\Vert T_i{v}_i\Vert \ge \frac{2}{3}{3}^{-i}\Vert T_i\Vert \mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}$

인 벡터 열 $(v_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}\subset V$를 고르자. 이는 코시 열이므로, $v\in V$로 수렴한다. 그렇다면

$\Vert v-v_i\Vert \le \frac{1}{2}{3}^{-n}$

이므로

$\Vert T_{i}v\Vert \ge \frac{1}{6}{3}^{-i}\Vert T_i\Vert \ge \frac{1}{6}(4/3{)}^i\to \mathrm{\infty }$

이다. 따라서 $𝒯$는 점별 유계가 아니다.

역사

스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다. 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.

외부 링크

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