주곡률

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 주곡률(主曲率, 틀:Llang)은 곡면이 각 방향에 따라 굽은 정도를 나타내는 값들이며, 제2 기본 형식의 고윳값들이다.

정의

d+1차원 리만 다양체 $(M,g)$ 속에 여차원이 1인 부분다양체 $i:\mathrm{\Sigma }\hookrightarrow M$가 매장돼 있다고 하자. 그렇다면, $\mathrm{\Sigma }$의 제2 기본 형식 $\mathrm{II}$과 제1 기본 형식 $\mathrm{I}$를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.

$S_{\alpha }^{\gamma }={\mathrm{II}}_{\alpha \beta }({\mathrm{I}}^{-1}{)}^{\beta \gamma }$

이 텐서를 모양 연산자(틀:Llang)라고 한다. $\mathrm{\Sigma }$의 주곡률은 그 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률 ${\kappa }_i$는 다음을 만족시킨다.

$\det (S_{\beta }^{\alpha }-{\kappa }_i{\delta }_{\beta }^{\alpha })=0$

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 가우스 곡률 $K$라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률(틀:Llang) $H$라고 한다.

$K=\det S_{\mathrm{\Sigma }}={\kappa }_1{\kappa }_2\cdots {\kappa }_d$

$H=\frac{1}{d}\mathrm{tr}{S}_{\mathrm{\Sigma }}=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2+\cdots +{\kappa }_d}{d}$

분류

여차원이 1인 부분다양체 $\mathrm{\Sigma }\subset M$의 점 $p\in \mathrm{\Sigma }$는 모양 연산자의 계량 부호수에 따라 분류된다.

• 타원점(틀:Llang)에서는 모양 연산자가 양의 정부호이다. 즉, 모든 주곡률들이 양수이다.
  • 배꼽점(틀:Llang)에서는 모든 주곡률들이 같으며 양수이다. 이 점에서 곡면은 국소적으로 구면처럼 보인다.
• 포물점(틀:Llang)에서는 모든 주곡률들이 양수이거나 0이고, 적어도 한 주곡률이 0이다.
• 쌍곡점(틀:Llang)에서는 적어도 한 주곡률이 음수이다.

같이 보기

• 지구 반경

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드