초기하함수

틀:위키데이터 속성 추적 초기하함수(超幾何函數, 틀:Llang)는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다.

정의

초기하 미분 방정식(틀:Llang)은 미지 함수 $w (z)$ 에 대한, 다음과 같은 꼴의 $\max {p, q + 1}$ 차 선형 상미분 방정식이다.

z \prod_{n = 1}^{p} (z \frac{d}{d z} + a_{n}) w (z) = z \frac{d}{d z} \prod_{n = 1}^{q} (z \frac{d}{d z} + b_{n} - 1) w (z)

여기서

𝐚 = (a_{1}, \dots, a_{p}) \in ℝ^{p}

𝐛 = (b_{1}, \dots, b_{q}) \in ℝ^{q}

는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

_{p} F_{q} (𝐚; 𝐛; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(𝐚)_{n}}{(𝐛)_{n}} \frac{z^{n}}{n!}

여기서

(x)_{n} = x (x + 1) \dots (x + n - 1)

은 상승 포흐하머 기호이며,

(𝐚)_{n} = (a_{1})_{n} (a_{2})_{n} \dots (a_{p})_{n}

(𝐛)_{n} = (b_{1})_{n} (b_{2})_{n} \dots (b_{q})_{n}

이다. 이 급수 $_{p} F_{q}$ 를 초기하급수(틀:Llang)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

성질

정의에 따라, 초기하함수 $_{p} F_{q} (𝐚; 𝐛; z)$ 는 ${a_{1}, \dots, a_{p}}$ 나 ${b_{1}, \dots, b_{q}}$ 의 순서에 관계없다. 또한, 만약 ${a_{1}, \dots, a_{p}}$ 와 ${b_{1}, \dots, b_{q}}$ 에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 $a_{p} = b_{q}$ 라면

_{p} F_{q} (a_{1}, \dots, a_{p}; b_{1}, \dots, b_{q}; z) =_{p - 1} F_{q - 1} (a_{1}, \dots, a_{p - 1}; b_{1}, \dots, b_{q - 1}; z)

이다.

미분

급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.

\frac{d^{n}}{d z^{n}}_{p} F_{q} (𝐚; 𝐛; z) = \frac{(𝐚)_{n}}{(𝐛)_{n}}_{p} F_{q} (𝐚 + n; 𝐛 + n; z)

여기서 $𝐚 + n = (a_{1} + n, a_{2} + n, \dots, a_{p} + n)$ 이며, $𝐛 + n$ 의 경우도 마찬가지다.

모노드로미

복소 상미분 방정식

z (z \frac{d}{d z} + α_{1}) \dots (z \frac{d}{d z} + α_{n}) f = (z \frac{d}{d z} + β_{1} - 1) \dots (z \frac{d}{d z} + β_{n} - 1) f

의 $n$ 개의 선형 독립 해는

z^{1 - β_{i}}_{n} F_{n - 1} (α_{1} - β_{i} + 1, \dots, α_{n} - β_{n} + 1; β_{1} - β_{i}, \dots, \hat{β_{i} - β_{i} + 1}, \dots, β_{n} - β_{i} + 1; z) (i = 1, \dots, n)

이다. (여기서 $\dots \hat{x} \dots$ 는 $x$ 를 제외한 목록을 뜻한다.) 이는 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 ${0, 1, \hat{\infty}} \in \hat{ℂ}$ 이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.

$1$ 근처에서, 초기하 방정식은 $n - 1$ 개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
$0$ 또는 $\hat{\infty}$ 근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
$z \neq 0, 1, \hat{\infty}$ 근처에서는 $n$ 개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점 $z_{0} \in \hat{ℂ} ∖ {0, 1, \hat{\infty}}$ 근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을 $V_{z_{0}} (α_{1}, \dots, α_{n}; β_{1}, \dots, β_{n})$ 라고 하자. 이는 $n - 1$ 차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다.

ϕ : π_{0} (\hat{ℂ} ∖ {0, 1, \hat{}}; z_{0}) \to GL (V_{z_{0}})

임의의 $i \in {1, \dots, n}$ 에 대하여, 초기하 함수 를 생각하자. 그렇다면 기본군 $π_{0} (\hat{ℂ} ∖ {0, 1, \hat{}}; z_{0}) = ⟨ g_{0}, g_{1}, g_{\infty} | g_{0} g_{1} g_{\infty} = 1 ⟩$ 의 작용은 다음과 같다.

$ϕ (g_{0})$ 의 고윳값은 $\exp (- 2 π i β_{i})$ 이다 $(i = 1, \dots, n)$ .
$ϕ (g_{\infty})$ 의 고윳값은 $\exp (2 π i α_{i})$ 이다 $(i = 1, \dots, n)$ .
$ϕ (g_{1})$ 은 중복수가 $n - 1$ 인 고윳값 1을 갖는다.

이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군 $H (α_{i}, β_{i})$ 라고 한다.

예

₀F₀

$_{0} F_{0} (;; z) = \exp z$ 는 지수 함수이다.

₁F₀

$_{1} F_{0} (a;; z) = (1 - z)^{- a}$ 는 기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

₀F₁

$_{0} F_{1} (; b; z)$ 는 합류 초기하 극한 함수(틀:Llang)라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

J_{α} (x) = \frac{(\frac{x}{2})^{α}}{Γ (α + 1)}_{0} F_{1} (; α + 1; - \frac{1}{4} x^{2})

₁F₁

$_{1} F_{1} (a; b; z)$ 는 제1종 합류 초기하함수(틀:Llang)라고 한다.

₂F₁

$_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ 는 가우스 초기하함수(틀:Llang)라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

2 z_{2} F_{1} (1 / 2, 1; 3; z^{2}) = \arcsin z

\frac{π}{2}_{2} F_{1} (1 / 2, 1 / 2; 1; z^{2}) = K (z) = \int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{(1 - x^{2}) (1 - z^{2} x^{2})}}

여기서 $K (z)$ 는 제1종 타원적분이다.

_nF_n−1

$_{n} F_{n - 1}$ 을 $n$ 차 클라우센-토메 초기하함수(틀:Llang)라고 한다. 이는 토마스 클라우센(틀:Llang)과 카를 요하네스 토메(틀:Llang)의 이름을 땄다. 이는 기하급수 $_{1} F_{0}$ 및 가우스 초기하함수 $_{2} F_{1}$ 의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다.

참고 문헌

외부 링크

틀:급수

틀:전거 통제

초기하함수

목차

정의

성질

미분

모노드로미

예

₀F₀

₁F₀

₀F₁

₁F₁

₂F₁

_nF_n−1

참고 문헌

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정의

성질

미분

모노드로미

예

0F0

1F0

0F1

1F1

2F1

nFn−1

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