정칙 특이점

틀:위키데이터 속성 추적 복소 상미분 방정식 이론에서, 정칙 특이점(正則特異點, 틀:Llang)은 선형 상미분 방정식의 해가 유리형 함수를 이루는 특이점이다. 정칙 특이점 근처에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

정의

복소 변수 $z \in \hat{ℂ}$ 를 가지는 미지 함수 $f$ 에 대한 n차 선형 상미분 방정식

p_{0} (z) f (z) + p_{1} (z) f^{'} (z) + \dots + p_{n - 1} (z) f^{(n - 1)} (z) + f^{(n)} (z) = 0

을 생각하자. 여기서 $p_{i}$ 들은 모두 유리형 함수이다.

만약 $p_{i} (z)$ 가 점 $z_{0} \in \hat{ℂ}$ 에서 차수 $n - i$ 이하의 극점만을 갖는다면, $z_{0}$ 를 이 상미분 방정식의 정칙 특이점이라고 하며, 그렇지 않을 경우 비정칙 특이점(틀:Llang)이라고 한다.

복소 무한대 $\hat{\infty} \in \hat{ℂ}$ 를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(틀:Llang)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

(1 - α^{2} / z^{2}) + z \frac{d}{d z} (z) + \frac{d^{2}}{d z^{2}} (z) = 0

을 생각하고, $α \neq 0$ 이라고 하자. 이 방정식은 $z = 0$ 에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면, $w = 1 / z$ 로 변환하면

(1 / w^{4} - α^{2} / w^{2}) + w^{- 1} \frac{d}{d w} f (w) + \frac{d^{2}}{d w^{2}} f (w) = 0

이므로, $z = \hat{\infty}$ 에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.

푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.