횔더 연속 함수

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 횔더 연속 함수(Hölder連續函數, 틀:Llang)는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수의 개념의 일반화이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 로비어 공간 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$
• 음이 아닌 실수 $\alpha \in [0,\mathrm{\infty })$

임의의 함수 $f:X\to Y$가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$가 $\alpha$-횔더 연속 함수라고 한다.틀:Rp

• 모든 $x,x^{\prime }\in X$에 대하여, $d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\le C{d}_X(x,x^{\prime }{)}^{\alpha }$인 $C>0$가 존재한다.

만약 임의의 함수 $f:X\to Y$가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$가 국소 $\alpha$-횔더 연속 함수(틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$ 및 $x,x^{\prime }\in K$에 대하여, $d_Y(f(x),f(x^{\prime }))\le C_K{d}_X(x,x^{\prime }{)}^{\alpha }$인 $C_K>0$가 존재한다.

임의의 함수 $f:X\to Y$ 및 $\alpha \in {ℝ}_{\ge 0}$에 대하여, $\alpha$-횔더 반노름(틀:Llang)을 다음과 같이 정의하자.틀:Rp

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{H}\ddot{\mathrm{o}},\alpha }=\underset{x,x^{\prime }\in Xd(x,x^{\prime })>0}{\sup }\frac{d_Y(f(x),f(x^{\prime })}{(d_X(x,x^{\prime }){)}^{\alpha }}\in [0,\mathrm{\infty }]$

즉, 어떤 함수가 $\alpha$-횔더 연속 함수인 것은 유한한 $\alpha$-횔더 반노름을 갖는 것과 동치이다.

$\alpha$-횔더 연속 함수들의 공간을 ${𝒞}^{0,\alpha }(X,Y)$로 표기하자. 이 위에는 $\alpha$-횔더 반노름을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다.

성질

0-횔더 연속 함수는 유계 함수이며, 1-횔더 연속 함수는 $C$-립시츠 연속 함수이다. 임의의 $\alpha >0$에 대하여, $\alpha$-횔더 연속 함수는 연속 함수이다. (그러나 물론 유계 함수는 연속 함수가 아닐 수 있다.)

포함 관계

만약 $X$가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, $X$의 지름이 유한하며, 임의의 $0<\alpha \le \beta <\mathrm{\infty }$에 대하여, 자연스러운 포함 사상

${𝒞}^{0,\beta }(X,Y)\subseteq {𝒞}^{0,\alpha }(X,Y)$

이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.

$\Vert f{\Vert }_{0,\alpha }\le \mathrm{diam}(X{)}^{\beta -\alpha }\Vert f{\Vert }_{0,\beta }$

따라서, 위 포함 관계는 연속 함수이자 사실 작용소 노름이 $\mathrm{diam}(X{)}^{\beta -\alpha }$ 이하인 유계 작용소이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리에 의하여, ${𝒞}^{0,\beta }(X,Y)$에서의 유계 집합은 ${𝒞}^{0,\alpha }(X,Y)$에서의 상대 콤팩트 집합이다.

예

함수

$[0,1/2]\to ℝ$

$x\mapsto \{\begin{array}{cc}0& x=0\\ 1/\ln x& x>0\end{array}$

를 생각하자. 이는 연속 함수이며 (정의역이 콤팩트 공간이므로) 균등 연속 함수이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 $\alpha <\mathrm{\infty }$에 대하여 $\alpha$-횔더 연속 함수가 되지 못한다.

임의의 $0<\beta <\mathrm{\infty }$에 대하여, 함수

$ℝ\to ℝ$

$x\mapsto x^{\beta }$

는 $0<\alpha \le \beta$에 대하여 $\alpha$-횔더 연속 함수이지만, $\alpha >\beta$일 경우 $\alpha$-횔더 연속 함수가 아니다.

페아노 곡선

전사 $1/2$-횔더 연속 함수

$[0,1]\to [0,1{]}^2$

가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선의 일종이다. 그러나 $\alpha >1/2$의 경우, 전사 $\alpha$-횔더 연속 함수 $[0,1]\to [0,1{]}^2$는 존재할 수 없다.

역사

오토 횔더가 1882년 박사 학위 논문에서 도입하였다.

같이 보기

• 립시츠 연속 함수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드