위너 확률 과정

확률 과정 이론에서, 위너 확률 과정(Wiener確率過程, 틀:Llang) 또는 위너 과정(Wiener過程)은 시간차 $Δ t$ 의 증분의 확률 분포가 평균 0, 분산 $Δ t$ 의 정규 분포를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 거의 확실하게 연속적인 연속 시간 확률 과정이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

유한 차원 유클리드 공간 $ℝ^{d}$
확률 공간 $Ω$

확률 과정

(W_{t} : Ω \to ℝ^{n})_{t \in [0, \infty)}

이 다음 조건들을 만족시킨다면, 위너 확률 과정(틀:Llang)이라고 한다.

임의의 $t \in [0, \infty)$ 및 $Δ t > 0$ 에 대하여, 확률 변수 $W_{t + Δ t} - W_{t} : Ω \to V$ 의 확률 분포는 평균이 0이며 분산이 $t$ 인 정규 분포 $𝒩 (0, Δ t)$ 이다.
(초기 조건) $\Pr (W_{0} = 0) = 1$ . 즉, 거의 확실하게 $W_{0} = 0$ 이다.
임의의 $0 \leq s \leq t \leq u$ 에 대하여, $W_{u} - W_{t}$ 와 $W_{s}$ 는 서로 독립이다.
Pr⁡(Wt∈𝒞0(ℝ,V))=1. 즉, Wt는 거의 확실하게 연속 함수 ℝ→V를 이룬다. 다시 말해,
- 임의의 $ω \in Ω$ 및 임의의 $ϵ > 0$ 및 임의의 $t \in [0, \infty)$ 에 대하여, $\forall s \in (t - δ, t + δ) : ‖ W_{\max {0, s}} (ω) - W_{t} (ω) ‖ < ϵ$ 이 되게 하는 양의 실수 $δ > 0$ 가 존재한다.

연산

위너 확률 과정 $(W_{t} : Ω \to ℝ^{n})_{t \in [0, \infty)}$ 이 주어졌을 때, 확률 과정

α^{- 1} W_{α^{2} t}

역시 위너 확률 과정을 이룬다. 즉, 그 그래프는 일종의 프랙털을 이룬다.

$W_{t}$ 가 유클리드 공간 $V$ 값의 위너 확률 과정이라고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 벡터 공간 $V^{'} \leq V$ 에 대하여, ${proj}_{V^{'}} W_{t}$ 역시 $V^{'}$ 값의 위너 확률 과정이다.

임의의 직교 행렬 $M \in O (V)$ 및 $V$ 값의 위너 확률 과정 $(W_{t} : Ω \to V)_{t \in [0, \infty)}$ 에 대하여, $M W_{t}$ 역시 $V$ 값의 위너 확률 과정이다.

예

다음이 주어졌다고 하자.

확률 공간 $Ω$
실수 힐베르트 공간 $L^{2} ([0, 1], ℝ)$ 의 정규 직교 기저 $(f_{i} : [0, 1] \to ℝ)_{i \in I}$ . 여기서 $I$ 는 임의의 가산 무한 집합이다.
서로 독립이며, 평균 0, 분산 1의 정규 분포를 따르는 확률 변수들의 열 $(X_{i} : Ω \to ℝ)_{i \in I}$

그렇다면, 임의의 $t \in [0, 1]$ 에 대하여, 급수

W (t) = \sum_{i \in I} X_{i} ⟨ 1_{[0, t]} | f_{i} ⟩_{L^{2} ([0, 1], ℝ)} \in L^{2} ([0, 1], ℝ)

는 ( $L^{2} ([0, 1], ℝ)$ 의 거리 위상에서) 수렴한다. (여기서 $1_{[0, t]}$ 는 폐구간의 지시 함수이다.) 이는 위너 확률 과정의 정의를 거의 확실한 연속성만을 제외하고 모두 만족시킨다.

만약 정규 직교 기저를

f_{i} (x) = {\begin{matrix} \sqrt{2} \cos (π i x) & i \in {1, 2, \dots} \\ 1 & i = 0 \end{matrix}

로 잡는다면, 위 급수가 $t \in [0, 1]$ 에 대하여 균등 수렴하는 것을 보일 수 있으며, 이 경우 이 급수는 위너 확률 과정을 이룬다.

역사

노버트 위너의 이름을 땄다.

같이 보기

외부 링크

틀:전거 통제

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목차

정의

연산

예

역사

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