콜모고로프 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:분리공리 일반위상수학에서 콜모고로프 공간(Колмогоров空間, 틀:Llang) 또는 T₀ 공간(틀:Llang)은 서로 다른 두 점을 열린집합으로 구별할 수 있는 위상 공간이다. 가장 약한 형태의 분리공리를 만족시킨다.

정의

위상 공간 $X$의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다면 두 점이 위상수학적으로 구분 불가능(位相數學的-區分不可能, 틀:Llang)하다고 한다.

• 모든 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $x\in U$라면 $y\in U$이다.
• 모든 닫힌집합 $C\subseteq X$에 대하여, $x\in C$라면 $y\in C$이다.

이는 위상 공간 위의 동치 관계를 이룬다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 콜모고로프 공간이라고 한다.

• $X$의 위상수학적으로 구분 불가능한 두 점은 항상 같다.
• $X$는 시에르핀스키 공간 $S$의 곱공간 $S^{\mathrm{Open}(X)}$의 부분집합과 위상동형이다.틀:Rp 여기서 $\mathrm{Open}(X)$는 $X$의 열린집합들의 집합이다.

위상 공간 $X$ 위에, 위상수학적 구분 불가능성에 대한 몫공간 $X/\sim$을 취할 수 있다. 이를 $X$의 콜모고로프 몫공간(Колмогоров-空間, 틀:Llang)이라고 하며, 이는 항상 콜모고로프 공간이다. 범주론적으로, 콜모고로프 공간들의 범주 $\mathrm{Kolm}$는 모든 위상 공간들의 범주 $\mathrm{Top}$의 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자 $I:\mathrm{Kolm}\to \mathrm{Top}$의 왼쪽 수반 함자

$Q:\mathrm{Top}\to \mathrm{Kolm}$

$Q⊣I$

가 존재하며, $Q$는 주어진 위상 공간을 그 콜모고로프 몫공간에 대응시킨다.

성질

모든 T₁ 공간은 콜모고로프 공간이다. 모든 차분한 공간은 콜모고로프 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

위상 공간 ⊋ 콜모고로프 공간 ⊋ T₁ 공간 ∪ 차분한 공간

콜모고로프 공간의 부분 공간은 항상 콜모고로프 공간이다. 그러나 콜모고로프 공간의 몫공간은 콜모고로프 공간이 아닐 수 있다.

예

콜모고로프 공간이 아닌 위상 공간

두 개 이상의 원소를 갖는 비이산 공간은 콜모고로프 공간이 아니며, 이 경우 콜모고로프 몫공간은 한원소 공간이다.

실수선 위의 제곱 적분 가능 실수값 함수들의 집합 ${ℒ}^2(ℝ;ℝ)$에 반노름

$\Vert f\Vert =\underset{ℝ}{\int }|f{|}^{2}dx$

을 주자. 이는 콜모고로프 공간이 아니다. 예를 들어, 영집합 $N$ 위의 지시 함수 ${\chi }_N$의 경우

$\Vert {\chi }_N\Vert =0$

이므로, 서로 구분할 수 없다. 이 경우 콜모고로프 몫공간은 힐베르트 공간 $L^2(ℝ;ℝ)$이다.

T₁ 공간이 아닌 콜모고로프 공간

T₁ 공간이 아닌 콜모고로프 공간의 가장 간단한 예는 시에르핀스키 공간이다. 보다 일반적으로, 가환환의 스펙트럼은 일반적으로 T₁공간이 아니지만, 항상 콜모고로프 공간이자 차분한 공간이다.

스콧 위상을 갖춘 부분 순서 집합은 항상 콜모고로프 공간이지만, 일반적으로 (비교 가능한 두 원소가 존재한다면) T₁ 공간이 아니다.

같이 보기

• 차분한 공간

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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