방접원

기하학에서 방접원(傍接圓, 틀:Llang)은 주어진 삼각형의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 원이다. 방심(傍心, 틀:Llang)은 방접원의 중심을 일컫는다. 방심은 삼각형의 한 내각과 그와 이웃하지 않은 두 외각의 이등분선이 만나는 점이다. 삼각형에는 세 변을 따라 3개의 방접원과 3개의 방심이 있다.

정의

삼각형 $A B C$ 의 세 변의 직선에 동시에 접하는 원은 정확히 4개 존재한다. 한 원은 세 변의 내부에서 접하며, 이를 삼각형 $A B C$ 의 내접원이라고 한다. 남은 3개의 원은 각각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 내부와 남은 두 변의 연장선에서 접하며, 이들을 각각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 와 마주보는 삼각형 $A B C$ 의 방접원이라고 한다. 세 방접원의 중심을 방심 $J_{A}$ , $J_{B}$ , $J_{C}$ 라고 한다. 세 방심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 방심 삼각형(傍心三角形, 틀:Llang) $J_{A} J_{B} J_{C}$ 라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 베번 원(틀:Lang圓, 틀:Llang)이라고 하며, 베번 원의 중심(즉, 방심 삼각형의 외심)을 베번 점(틀:Lang點, 틀:Llang) $V$ 라고 한다.

성질

방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다. 방심은 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선의 교점이다.

포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

반지름

삼각형 $A B C$ 의 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 길이를 $a$ , $b$ , $c$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ 라고 하고, 넓이를 $S$ 라고 하자. 또한 외접원과 내접원의 반지름을 각각 $R$ 와 $r$ 라고 하고, 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 와 마주보는 방접원의 반지름을 $r_{A}$ , $r_{B}$ , $r_{C}$ 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 항등식들이 성립한다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp

r_{A} = \frac{S}{s - a} = \sqrt{\frac{s (s - b) (s - c)}{s - a}} = s \tan \frac{A}{2}

r_{B} = \frac{S}{s - b} = \sqrt{\frac{s (s - a) (s - c)}{s - b}} = s \tan \frac{B}{2}

r_{C} = \frac{S}{s - c} = \sqrt{\frac{s (s - a) (s - b)}{s - c}} = s \tan \frac{C}{2}

\frac{1}{r_{A}} + \frac{1}{r_{B}} + \frac{1}{r_{C}} = \frac{1}{r}

r_{A} + r_{B} + r_{C} - r = 4 R

접점

삼각형 $A B C$ 의 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 와 마주보는 방접원의 대변과의 접점을 ${T_{A}}^{'}$ , ${T_{B}}^{'}$ , ${T_{C}}^{'}$ 이라고 하자. 그렇다면 직선 $A {T_{A}}^{'}$ , $B {T_{B}}^{'}$ , $C {T_{C}}^{'}$ 은 모두 삼각형 $A B C$ 의 둘레를 이등분한다. 즉, 반둘레를 $s$ 라고 할 때 다음이 성립한다.

B {T_{C}}^{'} = C {T_{B}}^{'} = s - a

C {T_{A}}^{'} = A {T_{C}}^{'} = s - b

A {T_{B}}^{'} = B {T_{A}}^{'} = s - c

방심 삼각형과 베번 점

삼각형 $A B C$ 의 내심을 $I$ , 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 와 마주보는 방심을 $J_{A}$ , $J_{B}$ , $J_{C}$ 라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 꼭짓점 $J_{A}$ , $J_{B}$ , $J_{C}$ 에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점 $A$ , $B$ , $C$ 가 되며, 세 수선의 교점은 내심 $I$ 가 된다. 특히, 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이며, 삼각형의 내심과 세 방심은 수심계를 이룬다.^[3]틀:Rp 모든 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다.^[3]틀:Rp 모든 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.^[3]틀:Rp 삼각형 $A B C$ 의 한 꼭짓점 $A$ 에서 대변에 내린 수선의 중점 $(A + H_{A}) / 2$ , 그 꼭짓점과 마주보는 방접원의 접점 ${T_{A}}^{'}$ , 그리고 내심 $I$ 는 같은 직선 위에 있다.^[3]틀:Rp

방심 삼각형의 수심 삼각형, 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형은 원래 삼각형이다. 즉, 수심 삼각형과 방심 삼각형을 취하는 연산은 서로 역연산이다.

삼각형 $A B C$ 의 반둘레를 $s$ 라고 하고, 외접원의 반지름을 $R$ 라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

S_{J_{A} J_{B} J_{C}} = 2 s R

나겔 점과 외촉 삼각형

삼각형 $A B C$ 의 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 ${T_{A}}^{'}$ , ${T_{B}}^{'}$ , ${T_{C}}^{'}$ 라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 $A {T_{A}}^{'}$ , $B {T_{B}}^{'}$ , $C {T_{C}}^{'}$ 는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 $A B C$ 의 나겔 점(틀:Llang)) $X_{8}$ 이라고 한다.^[3]틀:Rp 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 외촉 삼각형(틀:Llang) ${T_{A}}^{'} {T_{B}}^{'} {T_{C}}^{'}$ 이라고 한다. 나겔 점의 이름은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔(틀:Llang)에서 왔다. 틀:증명 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 의 대변의 길이를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ 라고 하자. 그렇다면

B {T_{C}}^{'} = C {T_{B}}^{'} = s - a

A {T_{C}}^{'} = C {T_{A}}^{'} = s - b

A {T_{B}}^{'} = B {T_{A}}^{'} = s - c

이므로,

\frac{A {T_{C}}^{'}}{{T_{C}}^{'} B} \cdot \frac{B {T_{A}}^{'}}{{T_{A}}^{'} C} \cdot \frac{C {T_{B}}^{'}}{{T_{B}}^{'} A} = 1

이다. 체바 정리에 의하여, $A {T_{A}}^{'}$ , $B {T_{B}}^{'}$ , $C {T_{C}}^{'}$ 는 공점선이다. 틀:증명 끝

각주

틀:각주

외부 링크

틀:오심

[Coxeter-1] 틀:서적 인용

[Isaacs-2] 틀:서적 인용

[Honsberger-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 틀:서적 인용

[1]

[2]

[3]

방접원

목차

정의

성질

반지름

접점

방심 삼각형과 베번 점

나겔 점과 외촉 삼각형

각주

외부 링크

둘러보기 메뉴

방접원

정의

성질

반지름

접점

방심 삼각형과 베번 점

나겔 점과 외촉 삼각형

각주

외부 링크

둘러보기 메뉴

검색