집적점

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 집적점(集積點, 틀:Llang)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

정의

기수 $\kappa \in \mathrm{Card}$가 주어졌다고 하자. 위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$ 및 점 $x\in X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $x$가 $Y$의 $\kappa$-집적점(集積點, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $x$의 근방 $X\supseteq U\ni x$에 대하여, $|U\cap Y|\ge \kappa$이다.

특히, 임의의 점 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.

$\mathrm{acc}(x,Y)=\underset{U\in {𝒩}_x}{\min }|Y\cap U|$

여기서 ${𝒩}_x$는 $x$의 근방 필터이다. 즉, $x$는 항상 $Y$의 $\mathrm{acc}(x,Y)$-집적점이다.

$Y$의 $\kappa$-집적점들의 집합을

${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(Y)=\{x\in X:\mathrm{acc}(x,Y)\ge \kappa \}$

로 표기하자.

특별한 값의 $\kappa$에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.

• $Y\subseteq X$의 $|Y|$-집적점을 완비 집적점(完備集積點, 틀:Llang)이라고 한다.
• ${\mathrm{\aleph }}_1$-집적점을 응집점(凝集點, 틀:Llang)이라고 한다. (여기서 ${\mathrm{\aleph }}_1$은 최소의 비가산 기수이다.)
• 점 $x\in X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$이 주어졌을 때, 만약 임의의 근방 $X\supseteq U\ni x$에 대하여, $U\cap Y\setminus \{x\}\ne \varnothing$이라면, $x$를 $Y$의 극한점(極限點, 틀:Llang)이라고 한다. 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 틀:Llang)이라고 하며, 흔히 $Y^{\prime }$으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다.
  • $X\subseteq X$의 극한점이 아닌 점 $x\in X\setminus X^{\prime }$은 고립점(孤立點, 틀:문화어, 틀:Llang)이라고 한다. 즉, $X$의 고립점은 $\{x\}$가 열린집합인 점 $x\in X$이다.
• 1-집적점을 폐포점(閉包點, 틀:Llang) 또는 밀착점(密着點, 틀:Llang)이라고 한다. $Y\subseteq X$의 폐포점은 $Y$의 원소이거나 아니면 $Y$의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 ${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_1(Y)=\mathrm{cl}Y$라고 한다.
• 임의의 $x\in X$는 $Y\subseteq X$의 0-집적점이다.

성질

폐포와의 관계

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$과 점 $x\in X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $Y$의 폐포점이다.
• $x\in Y$이거나, 또는 $x$는 $Y$의 극한점이다.

다시 말해, $Y$의 폐포는 $Y$와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.

$X={\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_0(Y)$

$\mathrm{cl}Y=Y\cup Y^{\prime }$

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Y$는 닫힌집합이다.
• $Y^{\prime }\subseteq Y$
• $\mathrm{cl}Y=Y$

T₁ 공간의 경우

만약 $X$가 T₁ 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x$는 $Y$의 극한점이다.
• $x$는 $Y$의 ${\mathrm{\aleph }}_0$-집적점이다.

따라서, T₁ 공간의 경우 $2\le \kappa \le {\mathrm{\aleph }}_0$에 대하여 $\kappa$-집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다.

증명:

$x\in X$가 $Y\subseteq X$의 ${\mathrm{\aleph }}_0$-집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, $U\cap Y$가 유한 집합인 $U\in {𝒩}_x$가 존재한다. (${𝒩}_x$는 $x$의 근방 필터이다.)

$X$가 T₁ 공간이므로, 한원소 집합은 닫힌집합이다. 따라서,

$\tilde{U}=\mathrm{int}(U)\setminus (Y\setminus \{x\})=\mathrm{int}(U)\cap \bigcap _{y\in U\cap (Y\setminus \{x\})}(X\setminus \{y\})$

역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서 $\mathrm{int}$는 내부를 뜻한다.) $\tilde{U}\in {𝒩}_x$이자 $\tilde{U}\cap Y=\{x\}$이므로 $x$는 $Y$의 극한점이 아니다.

T₁ 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 이산 공간이다.
• $X$의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

유도 집합

편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• 임의의 $\kappa \ge 1$에 대하여, ${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(\varnothing )=\varnothing$
• 임의의 집합 $Y,Z\subseteq X$ 및 기수 $\kappa \le 1.5$에 대하여, ${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(Y\cup Z)={\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(Y)\cup {\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(Z)$
• 임의의 집합 $Z\subseteq Y\subseteq X$ 및 기수 $\kappa \ge \lambda$에 대하여, ${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(Z)\subseteq {\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\lambda }(Y)$

임의의 부분 집합의 유도 집합이 닫힌집합인 위상 공간을 T_D 공간이라고 한다. 모든 T₁ 공간은 T_D 공간이며, 모든 T_D 공간은 콜모고로프 공간이다.

예

실수선의 부분 집합

$S=\{1/n:n\in {\mathbb{Z}}^{+}\}⊊ℝ$

을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.

${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(S)=\{\begin{array}{cc}ℝ& \kappa =0\\ S\cup \{0\}& \kappa =1\\ \{0\}& 2\le \kappa \le {\mathrm{\aleph }}_0\\ \varnothing & \kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_1\end{array}$

실수선 속의, 무리수의 부분 집합 $ℝ\setminus \mathbb{Q}⊊ℝ$을 생각하자.

${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(ℝ\setminus \mathbb{Q})=\{\begin{array}{cc}ℝ& 0\le \kappa \le 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\\ \varnothing & \kappa >2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\end{array}$

실수선 속의, 유리수의 부분 집합 $\mathbb{Q}⊊ℝ$을 생각하자.

${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(\mathbb{Q})=\{\begin{array}{cc}ℝ& 0\le \kappa \le {\mathrm{\aleph }}_0\\ \varnothing & \kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_1\end{array}$

실수선을 스스로의 부분 집합 $ℝ\subseteq ℝ$으로 여기자.

${\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{t}}_{\kappa }(ℝ)=\{\begin{array}{cc}ℝ& 0\le \kappa \le 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\\ \varnothing & \kappa >2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\end{array}$

즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선 $ℝ$의 부분 공간 $\{0\}\cup [1,2]$의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간 $\{0\}\cup \{1/n:n\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

이산 공간

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 이산 공간이다.
• $X$의 모든 점은 고립점이다.

역사

유도 집합(틀:Llang)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.틀:Rp

외부 링크

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