디바이 모형

틀:위키데이터 속성 추적 틀:통계역학 응집물질물리학에서 디바이 모형(틀:Lang)은 결정의 비열을 포논을 사용하여 다루는 모형이다.

역사

피터 디바이가 1912년에 발표하였다.

전개

부피가 $V$이고, $N$개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.

$E=\hslash v\Vert 𝐤\Vert$.

여기서 $\hslash$는 디랙 상수, $v$는 결정 속 음속, $𝐤$는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, $E$가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)

결정의 크기가 $\sqrt[3]{V}$이므로, 정상파 파수는 다음과 같다.

$k_i=\pi n_i/\sqrt[3]{V}$ ($n=1,2,3,4,\dots ,\sqrt[3]{N}$. $i=1,2,3$).

포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 화학 퍼텐셜이 0이다 (즉, 퓨가시티가 1이다). 따라서 포논 기체의 큰 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

$\ln \mathrm{\Xi }(\beta )=-\sum _{n_1=1}^{\sqrt[3]{N}}\sum _{n_2=1}^{\sqrt[3]{N}}\sum _{n_3=1}^{\sqrt[3]{N}}3\ln (1-\exp (-\beta hv\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}/2\sqrt[3]{L}))$.

(여기서 $3$은 포논의 자유도의 수이다.)

합을 토머스-페르미 근사로 쓰면 같다.

$\ln \mathrm{\Xi }(\beta )=-3\underset{0}{\overset{\sqrt[3]{N}}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt[3]{N}}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt[3]{N}}{\int }}\ln (1-\exp (-\beta hv\Vert 𝐧\Vert /2\sqrt[3]{L})))d^3𝐧$

$\approx -\frac{3\pi }{2}\underset{0}{\overset{\sqrt[3]{6N/\pi }}{\int }}{n}^2\ln (1-\exp (-\beta hvn/2\sqrt[3]{L}))dn$

$=-9N\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2\ln (1-\exp (-x(T_{\text{D}}/T)))dx$.

여기서

$T_{\text{D}}=\frac{hv}{k}\sqrt[3]{3N/4\pi V}$

를 디바이 온도(틀:Lang)라고 하고, 이에 대응하는 주파수

${\nu }_{\text{D}}=v\sqrt[3]{3N/4\pi V}$

를 디바이 주파수(틀:Lang)라고 한다.

디바이 결정의 에너지와 열용량

디바이 모형과 아인슈타인 모형이 예측하는 열용량. 실선은 디바이 모형, 점선은 아인슈타인 모형이다. 높은 온도에서는 두 모형 모두 뒬롱-프티 법칙(붉은 점선)에 부합하는 것을 볼 수 있다.

디바이 결정의 에너지는

$E=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \mathrm{\Xi }$

$=9Nk{T}_{\text{D}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^3}{\exp (x(T_{\text{D}}/T))-1}dx$

$=\frac{9Nk{T}^4}{T_{\text{D}}^3}\underset{0}{\overset{T_{\text{D}}/T}{\int }}\frac{y^3}{\exp y-1}dy$

이고, 그 비열용량은

$c=\frac{1}{Nk}\frac{dE}{dT}$

$=9T_{\text{D}}^2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4\exp (x(T_{\text{D}}/T))}{T^2(\exp (x(T_{\text{D}}/T))-1{)}^2}dx$

$=9(T/T_{\text{D}}{)}^3\underset{0}{\overset{T_{\text{D}}/T}{\int }}\frac{y^4\exp y}{(\exp y-1{)}^2}dy$

이다.

같이 보기

• 보스 기체
• 그뤼나이젠 상수