하이네-칸토어 정리

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 하이네-칸토어 정리(Heine-Cantor定理, 틀:Llang)는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다.

정의

콤팩트 균등 공간 $(X,{ℰ}_X)$와 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$ 사이의 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 하이네-칸토어 정리에 따르면, $f$가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.틀:Rp

증명:

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 $f:X\to Y$ 및 임의의 측근 $ϵ\in {ℰ}_Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면

$\mathrm{\forall }x,y\in X:x{\approx }_{\delta }y⟹f(x){\approx }_{ϵ}f(y)$

가 성립하는 측근 $\delta \in {ℰ}_X$를 찾으면 족하다.

우선,

$\mathrm{\forall }x,y,z\in Y:x{\approx }_{\widehat{ϵ}}y{\approx }_{\widehat{ϵ}}z⟹x{\approx }_{ϵ}z$

인 대칭 측근 $\widehat{ϵ}\in {ℰ}_Y$를 찾자.

$f$가 연속 함수이므로, 임의의 $x\in X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 ${\delta }_x\in {ℰ}_X$들이 존재한다.

$\mathrm{\forall }x,y\in X:x{\approx }_{{\delta }_x}y⟹f(x){\approx }_{\widehat{ϵ}}f(y)$

이제

$\mathrm{\forall }x,y,z,w\in X:y{\approx }_{{\hat{\delta }}_x}z{\approx }_{{\hat{\delta }}_x}w⟹y{\approx }_{{\delta }_x}w$

인 측근 ${\hat{\delta }}_x\in {ℰ}_X$들을 고르자. 이제,

$\{\{y\in X:x{\approx }_{{\hat{\delta }}_x}y\}:x\in X\}$

는 $X$의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

$\{\{y\in X:x{\approx }_{{\hat{\delta }}_{\tilde{x}}}y\}:\tilde{x}\in \tilde{X}\}$

$\tilde{X}\subseteq X$

$|\tilde{X}|<{\mathrm{\aleph }}_0$

가 존재한다. 이제,

$\mathrm{\forall }y,z\in X:y{\approx }_{\delta }z⟹\mathrm{\forall }\tilde{x}\in \tilde{X}:y{\approx }_{{\delta }_{\tilde{x}}}z$

인 측근 $\delta \in {ℰ}_X$를 고르자.

이제, 임의의 $x,y\in X$에 대하여 $x{\approx }_{\delta }y$이라고 하자. 그렇다면,

$\tilde{x}{\approx }_{{\hat{\delta }}_{\tilde{x}}}x{\approx }_{\delta }y$

인 $\tilde{x}\in \tilde{X}$가 존재한다. 따라서

$\tilde{x}{\approx }_{{\hat{\delta }}_{\tilde{x}}}x{\approx }_{{\hat{\delta }}_{\tilde{x}}}y$

이므로

$\tilde{x}{\approx }_{{\delta }_{\tilde{x}}}x$

$\tilde{x}{\approx }_{{\delta }_{\tilde{x}}}y$

이며, 따라서

$f(x){\approx }_{\widehat{ϵ}}f(\tilde{x}){\approx }_{\widehat{ϵ}}f(y)$

이며, 따라서

$f(x){\approx }_{ϵ}f(y)$

이다.

예

균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

• 탄젠트 함수 $\tan :(-\pi /2,\pi /2)\to ℝ$는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.
• 지수 함수 $\exp :ℝ\to ℝ$는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

역사

게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.틀:Rp 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용