호프 연환

매듭 이론에서 호프 연환(Hopf連環, 틀:Llang)은 서로 얽힌 두 개의 원이다. 가장 간단한, 자명하지 않은 연환이다.

정의

호프 연환은 3차원 초구 $𝕊^{3}$ 속의, 두 개의 연결 성분을 가진, 자명하지 않은 유일한 연환이다. 그 알렉산더-브리그스 기호는 $2_{1}^{2}$ 이다.

호프 연환 $L$ 의 매듭 여집합 $𝕊^{3} ∖ L$ 은 $ℝ \times 𝕊^{1} \times 𝕊^{1}$ 과 미분 동형이며, 따라서 그 매듭군은

π_{1} (𝕊^{3} ∖ L) ≅ ℤ^{\oplus 2}

이다.

π : 𝕊^{3} ↠ 𝕊^{2}

를 생각하자. 임의의 $x, y \in 𝕊^{2}$ 에 대하여, 만약 $x \neq y$ 라면, 이 두 점의 원상으로 구성된 연환

π^{- 1} ({x, y}) ⊊ 𝕊^{3}

은 항상 호프 연환이다. 이로부터, 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 알 수 있다.

16세기에 센요 소조(틀:Llang, 1530~1604)에 의하여 창시된, 진언종의 종파인 풍산파(틀:Llang)의 몬은 호프 연환의 모양을 하고 있다. 또한, 일본 아소(틀:Llang) 가문의 가몬인 지가이쿠기누키(틀:Llang) 역시 호프 연환을 나타낸다.

또한, 독일 라인란트팔츠 주의 마을인 포메른안데르모젤(틀:Llang)의 문장 역시 호프 연환을 포함하고 있다.

이후 하인츠 호프가 1931년에 호프 올뭉치가 자명한 올다발이 아님을 증명하기 위하여 이 개념을 사용하였다.^[1]