하디-리틀우드 원 방법

틀:위키데이터 속성 추적 해석적 수론에서 하디-리틀우드 원 방법(틀:Llang)은 수열의 점근적 근사치를 복소해석학을 통해 계산하는 방법이다.

정의

수열 $a_{k}$ 의 $k \to \infty$ 극한에서의 점근적 성장을 유도하고 싶다고 하자. 그렇다면 하디-리틀우드 원 방법은 다음과 같다.

생성함수 $f (z) = \sum_{k} a_{k} z^{k}$ 를 정의한다.
급수 $f (z)$ 는 보통 $| z | = 1$ 에서 발산하게 된다. 이 경우 발산하는 정도, 즉 $\lim_{r \to 1^{-}} f (r \exp (i θ))$ 를 계산한다.
그렇다면 수열 $a_{n}$ 은 $f (z) / z^{n + 1}$ 의 유수로 계산할 수 있다. 즉, 이는 $\exp (i θ)$ 꼴의 원에 대한 선적분으로 주어진다.
보통, 이 선적분은 유리수 $θ = 2 π m / n$ 에 집중되며, $n$ 이 작을 수록 이에 해당하는 항이 더 중요해진다. 따라서, 이 선적분은 유리 $n$ 근처에서의 적분으로 주어진다.

하디-리틀우드 원 방법은 다양한 문제에 적용될 수 있다.

웨어링의 문제
분할수 $p (n)$ 의 점근적 표현. 이 경우 $f (z)$ 는 데데킨트 에타 함수에 주어지며, 그 모듈러 성질에 의해 계산할 수 있다. 보다 일반적으로, 생성함수가 모듈러 형식을 이루는 경우 이와 같이 계산할 수 있다.
약한 골드바흐의 추측