표준환

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 표준환(標準環, 틀:Llang)은 주어진 대수다양체의 표준 선다발의 텐서 거듭제곱들의 단면들로 구성된 등급환이다.

정의

$X$ 가 대수다양체라고 하고, 그 표준 선다발을 $ω_{X}$ 라고 하자. 그렇다면 표준환 $R (X)$ 는 다음과 같은 등급환이다.

R (X) = ⨁_{n = 0}^{\infty} R_{n} (X)

R_{n} (X) = H^{0} (X, ω_{X}^{n})

여기서 $H^{0}$ 은 0차 층 코호몰로지, 즉 단면들의 아벨 군이다. $ω_{X}^{n}$ 은 표준 선다발의 $n$ 승 텐서곱이다.

대수다양체 $X$ 의 다중 종수(多重種數, 틀:Llang, 복수 틀:Llang)는 표준환의 각 등급 $R_{n}$ 의 차원들이다.^[1]틀:Rp

P_{n} = \dim R_{n} (X) = h^{0} (X, ω_{X}^{n})

$P_{0}$ 은 항상 1이다. $P_{n}$ 은 모두 음이 아닌 정수들이다.

대수다양체 $X$ 의 표준환 $R$ 에 대한 사영 공간 $Proj (R)$ 을 표준 모형(틀:Llang)이라고 한다. 이는 모리 시게후미의 최소 모형 프로그램(minimal model program)의 중요한 요소다.

표준 모형의 차원을 고다이라 차원([小平]次元, 틀:Llang) $κ$ 라고 하며,^[1]틀:Rp 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

만약 모든 양의 정수 $n$ 에 대하여 $P_{n} = 0$ 이라면, 고다이라 차원을 $κ = - \infty$ 로 정의한다. 고다이라 차원은 고다이라 구니히코의 이름을 땄다.

고다이라 차원은 다음을 만족시킨다.

κ (X \times Y) = κ (X) + κ (Y)

즉, 차원의 일종으로 생각할 수 있다.

표준환은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다. 이에 따라, 모든 다중 종수 및 고다이라 차원 역시 쌍유리 동치 불변량이다.