평균 근점 이각

타원 궤도에서 단위시간당 지나간 면적(회색)과 가상의 원 궤도를 돌고 있는 천체(적색)의 공전 주기는 서로 같고, 따라서 같은 지역을 같은 시간 동안 지나간다. 하지만 쓸고 지나가는 것의 각속도는 타원 궤도에서는 변화하지만 원 궤도에서는 변하지 않는다. 이 그림에서는 평균 근점 이각과 진근점 이각 둘 모두를 표시하고 있다.

천체물리학에서 평균 근점 이각(틀:Llang)은 고전 이체 문제에서 타원 궤도상의 물체의 위치를 계산하기 위해 사용되는 각도로, 해당 물체가 공전 속도와 공전 주기를 유지한 채 원 궤도로 옮겨간다고 가정하였을 때, 물체와 궤도 근점 간의 각거리를 말한다.

정의

T를 물체가 궤도 한 바퀴를 도는 데 필요한 시간이라고 하자. 시간 T에서는 위치벡터가 2π 라디안(=360°)를 쓸고 지나간다. 쓸고 지나가는 평균 비율 n은 다음과 같다.

$n=\frac{2\pi }{T}\text{or}n=\frac{360^{\circ }}{T},$

이 값은 물체의 평균 움직임이라고 불리며, 단위시간당 라디안 또는 단위시간당 각도로 나타내어진다.

τ를 물체가 궤도 근점에 있는 시각이라고 하자. 위의 정리에 따라, 평균 근점 이각 M은 다음과 같이 정의된다.

$M=n(t-\tau ),$

이 공식을 통해 임의의 시간 t(근점으로부터 지난 시간)에서의 각거리를 구할 수 있다.

n은 변하지 않는 평균인 데 비해, 평균 근점 이각은 궤도를 돔에 따라 0°에서 360°(0에서 2π 라디안)까지 증가한다. 평균 근점 이각이 0일 때는 물체가 궤도 근점에 있는 것이고, 180°(π 라디안)일 경우에는 궤도 원점에 있고, 360°(2π 라디안)일 경우에는 공전 한 바퀴를 끝낸 것이다. 만약 어떠한 순간의 평균 근점 이각이 알려져 있다면, 단순히 n δt을 더하거나 뺌으로서 다른 시각의 평균 근점 이각을 구할 수 있다. δt는 시각 차이를 나타낸다.

평균 근점 이각은 물리적인 물체들의 각도를 측정하는 것이 아니다. 평균 근점 이각은 궤도의 근점으로부터 물체가 얼마나 궤도를 돌았는지를 보여주는 간편한 형식일 뿐으로, 궤도에서의 위치를 보여주는 세 개의 각 변수(평균 근점 이각, 편심 이각, 진근점 이각) 중 하나이다.

공식

평균 근점 이각 M은 케플러 방정식을 이용하여 편심 이각 E와 궤도 이심률 e로부터 유도될 수 있다.

$M=E-e\sin E$

평균 근점 이각은 또한 다음과 같이 나타내어지기도 한다.

$M=M_0+n(t-t_0)$

M₀은 "역기점에서의 평균 근점 이각", t₀는 역기점(궤도 요소들이 관측된 특정 시각)을 나타낸다. 물체의 위치를 찾는 고전적인 방법은 다른 궤도 요소들을 측정해서 이 식을 통하여 평균 근점 이각을 계산하고, 편심 이각을 계산하기 위해 케플러 방정식을 이용하는 것이었다.

ϖ를 근일점 경도(궤도 근점에서 기준 방향에 대한 각도)라고 하고, 틀:Mvar를 평균 경도(물체와 기준 방향 사이의 각도이며, 물체의 이동에 따라 변한다)라고 하자. 평균 근점 이각은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$M=l-\varpi$

평균 움직임 n 또한 다음과 같이 표현될 수 있다. μ는 물체의 질량에 비례하는 표준 중력 변수이고, a는 궤도 긴반지름이다.

$n=\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}$

위의 식에 따라서, 평균 근점 이각은 다음과 같이 표현된다.

$M=\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}(t-\tau )$

평균 근점 이각은 궤도 이심률 e와 진근점 이각 틀:Mvar의 급수 전개를 통해서도 표현될 수 있다.

$M=\nu -2e\sin \nu +(\frac{3}{4}{e}^2+\frac{1}{8}{e}^4)\sin 2\nu -\frac{1}{3}{e}^3\sin 3\nu +\frac{5}{32}{e}^4\sin 4\nu \cdots$

같이 보기

• 궤도 요소
• 케플러의 행성운동법칙

외부 링크

• Glossary entry anomaly, mean 틀:웹아카이브 at the US Naval Observatory's Astronomical Almanac Online 틀:웹아카이브