직교행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 직교 행렬(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 유클리드 공간의 정규 직교 기저를 이루는 실수 행렬이다.

정의

실수 $n \times n$ 행렬 $Q$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $Q$ 를 직교 행렬이라고 한다.

$Q Q^{T} = Q^{T} Q = 1_{n \times n}$ . 즉, $Q$ 의 전치 행렬은 $Q$ 의 역행렬이다.
$Q$ 의 열벡터들은 $ℝ^{n}$ 의 정규 직교 기저를 이룬다.
$Q$ 의 행벡터들은 $ℝ^{n}$ 의 정규 직교 기저를 이룬다.
$ℝ^{n}$ 의 모든 정규 직교 기저 ${𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}}$ 에 대하여, ${Q 𝐞_{1}, \dots, Q 𝐞_{n}}$ 은 $ℝ^{n}$ 의 정규 직교 기저다.
$ℝ^{n}$ 의 어떤 정규 직교 기저 ${𝐞_{1}, \dots, 𝐞_{n}}$ 에 대하여, ${Q 𝐞_{1}, \dots, Q 𝐞_{n}}$ 은 $ℝ^{n}$ 의 정규 직교 기저다.
임의의 벡터 $𝐱, 𝐲 \in ℝ^{n}$ 에 대하여, $(Q 𝐱) \cdot (Q 𝐲) = 𝐱 \cdot 𝐲$
임의의 벡터 $𝐱 \in ℝ^{n}$ 에 대하여, $(Q 𝐱) \cdot (Q 𝐱) = 𝐱 \cdot 𝐱$

모든 직교 행렬은 가역 행렬이며, 직교 행렬의 곱은 항상 직교 행렬이므로, $n \times n$ 직교 행렬의 집합은 직교군 $O (n; ℝ)$ 이라는 군을 이룬다. 행렬식이 1인 직교 행렬의 집합은 특수직교군 $SO (n; ℝ)$ 이라는 부분군을 이룬다.

실수 $1 \times 1$ 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.

(\begin{matrix} \pm 1 \end{matrix})

실수 $2 \times 2$ 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ ϵ \sin θ & ϵ \cos θ \end{matrix}) θ \in ℝ, ϵ = \pm 1